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一、选择题
2
1．(2018·江西卷)若复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
2??x－1＝0
解析： 根据题意得?，解得x＝－1.故选A.
?x－1≠0?
答案： A
2．若复数z满足(1＋i)z＝1－3i，则复数z在复平面上的对应点在( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
1－3i1－3i1－i
解析： 由已知z＝＝＝－1－2i，则z所对应的点为(－1，－
1＋i1＋i1－i
2)，故z对应的点在第三象限，故选B.
答案： B
3．(2018·山东济南模拟)已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )
8A. 38C．－
3
解析： ∵＝
3B. 2
3D．－
2
m＋2i3＋4i3m－86＋4m＝＋i，
555
z1
z2
z1m＋2i
＝
z23－4i
3
∴6＋4m＝0，m＝－.
2
答案： D
4．(2018·宁夏银川一中一模)已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为( )
1B. 2
C．1 D．2
z12＋i2＋i3＋i11
解析： ＝＝＝＋i，所以它的实部与虚部之和为1.
z23－i1022
答案： C A．0
5．若复数z＝cos θ＋isin θ且z＋z＝1，则sinθ＝( ) 1A. 23C. 4
2
2
22
2
2
z1z2
1B. 41D．－
4
2
解析： z＋z＝(cos θ＋isin θ)＋(cos θ－isin θ)＝2cos 2θ＝1?cos 2θ11－cos 2θ12
＝，所以sin θ＝＝. 224答案： B
???1
6．若M＝{x|x＝i，n∈Z}，N＝?x?＞－1
???xn
??
?(其中i为虚数单位)，则M∩(?RN)＝( ) ??
A．{－1,1} B．{－1}
C．{－1,0} D．{1} 解析： 依题意M＝{1，－1，i，－i}， N＝{x|x＞0或x＜－1}，
所以?RN＝{x|－1≤x≤0}，故M∩(?RN)＝{－1}． 答案： B 二、填空题
7．设z1是复数，z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则
z2的虚部为________．
解析： 设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi) ＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，y－x＝1.
答案： 1
→→→
8．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________.
解析： 由题意知A(1,1)，B(－1,3)， →22故|AB|＝－1－1＋3－1＝22. 答案： 22
9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则的最大值为________． 解析： 由|z－2|＝3可得|z－2|＝(x－2)＋y＝3， 设＝k，即得直线方程kx－y＝0，
∴圆(x－2)＋y＝3的圆心(2,0)到直线kx－y＝0的距离d＝[－3，3]，即得的最大值为3.
答案： 3 三、解答题 10．计算：(1)
1－i1＋i
2
2
2
2
2
2
yxyx2|k|
2
≤3，解之得k∈k＋1
yx＋
1＋i1－i
2
；(2)
1－3i3＋i
2
；
1111(3)＋2＋3＋…＋2 010. iiii
1－i1＋i
解析： (1)2＋
1＋i1－i
1＋i－1＋i＝＋＝－1. －22(2)
1－3i3＋i
＝2
3＋i
3＋i
2
2
1－i1＋i
＝＋ 2i－2i
－i
＝
－i
＝3＋i
－i
4
3－i
13＝－－i. 4411111111(3)∵＝－i，2＝－1，3＝i，4＝1，5＝，6＝2，
iiiiiiii11117＝3，8＝4， iiii
1111
∴＋2＋3＋4＝0. iiii
又∵2 010＝518×4＋2，
11
∴原式＝518×0＋＋2＝－1－i.
ii
22
11．实数m分别取什么数值时？复数z＝(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)i. (1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭；
(3)对应的点在x轴上方.【解析方法代码118001186】 解析： (1)根据复数相等的充要条件得 2??m＋5m＋6＝2，?2解之得m＝－1. ?m－2m－15＝－12.?
(2)根据共轭复数的定义得
?m＋5m＋6＝12，??2??m－2m－15＝－16.
2
解之得m＝1.
2
(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m－2m－15＞0， 解之得m＜－3或m＞5.
12．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.【解析方法代码118001187】
解析： 在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，由∠BAC是钝角得→→
AB·AC＜0且B、A、C不共线，
由(－3，－4)·(c－3,2c－10)＜0
49
解得c＞，
11
→→
其中当c＝9时，AC＝(6,8)＝－2AB，三点共线，故c≠9.
49
∴c的取值范围是c＞且c≠
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