2001级高等数学[下]期末试卷参考解答

一．填空（每小题4分，共24分）

1. x2?y2?0,x2?y2?0; 2.

?z?z?2xcos(x2?y2),?2ycos(x2?y2)， ?x?y443． 略 ; 4. 4?a; 5.3; 6. 通 . 二．解答下列各题（每小题6分，共18分） 1. [解]：dz?2axeax2?by2dx?2byeax2?by2dy;

2. [解]：切平面的法向量为{2,2,?23},故切平面方程为2(x?1)?2(y?1)?23(z?3)?0，法线 (x?1)(y?1)(z?3)???0。 22?23exdx,积分得: 3. [解]：分离变量得: ydy?1?exex?ydy??1?exdx,即微分方程的通解为

lny??ln(1?ex)?c.

三．解答下列各题（每小题6分，共18分） 1. [解]：

?zyyy?zy1?y?F()?xF?()?(?2),?x?xF?()?(),故 ?xxxx?yxxx?z?zy?y?2xy?xF(). ?x?yx22??z?x2?y2?1?z?2?x?y?交线?2. [解]：由?，由柱面坐标

22?z?1??z?x?y2?12?r2???zdxdydz??d??r?2?00rzdz?7?. 123. [解]：由于?关于xoz面对称,而被积函数xyz关于y为奇函数,故

??xyzdydz?0.

?四. [解]：对应齐次方程通解为y?c1e1x?c2e2x.由于0?i不是特征方程的根，可设特解：

y*?acosx?bsinx,代入原方程得:(a?3b)cosx?(3a?b)sinx?cosx,故：

1?a??a?3b?1??10,故所求通解为：y?cex?ce2x?y*?1cosx?3sinx.

???1210103a?b?03??b???10?五. [解]：(1)由于L不包含奇点(1,0),由格林公式并注意到

?Q?P得： ??x?y??Lydx?(x?1)dy?0;

(x?1)2?y2(2) 由于L包含奇点(1,0),不能直接使用格林公式，由于

?Q?P?，故由连续变形 ?x?y原理可以将L压缩为小圆l:(x?1)2?y2?r2（r较小），积分即：????Lydx?(x?1)dy的值不变，

(x?1)2?y2ydx?(x?1)dyydx?(x?1)dy1???l(x?1)2?y2?r2L(x?1)2?y2??ydx?(x?1)dy，此时，

l则可以使用格林公式得

1r2ydx?(x?1)dy1??L(x?1)2?y2?r2???2dxdy?D?2??r2??2?. 2r六. [解]：设长、宽、高分别为x,y,z，则体积V(x,y,z)?xyz,且2xy?2xz?2yz?36由拉格朗日乘数法作辅助函数F?x,y,z??xyz??(xy?xz?yz?18)，其中?为参 数，解方程组

令?Fx,y,z?yz??(y?z)0???x??令， ??Fy?x,y,z??xz??(x?xz)0??xy?xz?yz?18???由对称性x?y?z,?x?y?z?6,即当长、宽、高都取6 时，才能使体积为 最大, 最大体积为66.

七．略.