★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业4

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f} ．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 等于出度 ． 5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W(G-V1) ??V1? ．

7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 n为奇数 时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 5 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．． (1) 不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比如图G是一个有孤立结点的图。

1

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2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

(2) 不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

解：正确

G

因为图中结点a，b，d，f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。

如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a外，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图． 解：(1) 错误

假设图G是连通的平面图，根据定理，结点数v，边数为e，应满足e小于等于3v-6，但现在16小于等于3*7-6，显示不成立。所以假设错误。

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

(2) 正确

根据欧拉定理，有v-e+r=2，边数v=11，结点数e=6，代入公式求出面数r=7

三、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 解：(1)

v1

? v2 ? ? v5

? v3

? v4

2

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(2) 邻接矩阵为

?0??0?1??0?0?0100??0110?1011?

?1101?0110??

(3) v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2

(4) 补图图形为

v1 ? v2 ? ? v3

? v4

? v5

2．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形如下：

（2）写出G的邻接矩阵

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