2.10 函数的最值

●知识梳理

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；

（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）· c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.

（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.

（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值. （6）函数的单调性法. ●点击双基

1.（2003年春季北京）函数f（x）=

1的最大值是

1?x(1?x)

C.

D.

3 4133解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+≥，

244A.

B.

∴f（x）=

4 55 44 3144≤，f（x）max=.

1?x(1?x)33答案：D

2.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为 A.3 B.4 C.5 解析：∵x2+y2=1，

∴可设x=cosα，y=sinα.

∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+?）≤5. 答案：C

D.6

3.（2004年春季安徽）函数y=x－x（x≥0）的最大值为___________________. 答案：

1 44.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________. 解析：∵x＞0，y＞0， ∴3x·2y≤（

3x?2y22

）＝6?xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）. 2答案：6

5.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________.

解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.

答案：2 ●典例剖析

【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）

yx

解：由题意得x·y+

1x·x·=8， 22x28?4=8－x（0＜x＜42）. ∴y=xx4于是，框架用料长度为

L=2x+2y+2（

2x3316）=（+2）x+≥216(?2)=46?42. 222x当且仅当（

4316+2）x=，即x==8－42时，等号成立. 2x3?22此时，x≈2.343，y=22≈2.828.

故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.

?1?t?11(0?t?20,t?N),【例2】 设f（t）=?2

???t?41(20?t?40,t?N),g（t）=－

143t+（0≤t≤40，t∈N*）. 331143143?22t+11）·（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，236321431t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161. 3332，求这4求S=f（t）g（t）的最大值. 解：当0≤t＜20时，S=（

又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.

当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－综上所述，S的最大值是176.

【例3】 设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值时a和x的值.

解：原式可化为logax＋

logay33－＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－）logaxlogax22

＋

333，知当logax＝时，logay有最小值. 424∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a.

342111根据题意有a＝?a＝.这时x＝a2＝（）2＝.

4448评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.

3433深化拓展

已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值. 解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］. 又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3， ∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.

∴当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.

答案：当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.

●闯关训练 夯实基础

1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是

A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1 C.减函数且最小值是－1 D.减函数且最大值是－1 解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1. 答案：B

2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.

解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=

1?x. 2π(1?x)2x2x2∴S正=（）=，S圆=π·.

1644π2(π?4)x2?8x?4∴S正+S圆=（0＜x＜1）.

16π4∴当x=时有最小值.

π?44答案：

π?43.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：