§1．2．2组合

教学目标：

知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断

一个问题是排列问题还是组合问题。

m过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数?n与组合数C n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组

m

合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2课时 内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

教学过程：

一、复习引入：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

N?m1?m2??mn种不同的方法 2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2?不同的方法 ?mn 种

3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取

出m元素的排列数，用符号An表示 mm5．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）

6阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．

7．排列数的另一个计算公式：An=

mn! (n?m)!8.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． ．．

二、讲解新课：

1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得，故我们．．．．．．．．．可以考察一下C4和A4的关系，如下：

3333m 组 合 排列

abc?abc,bac,cab, abd?abd,bad,dab,acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,acb,bca,cbaadb,bda,dba adc,cda,dcabdc,cdb,dcb3由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个

3A4不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步计数原理得：A＝C?A，所以，C?3．

A333334343334（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；

m② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝Cn?Am．

mmmmm（3）组合数的公式：

Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1) C?m?Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!0 规定: Cn?1.

三、讲解范例：

例2．用计算器计算C10．

解：由计算器可得

例3．计算：（1）C7； （2）C10；

4777?6?5?4＝35；

4!10?9?8?7?6?5?47（2）解法1：C10?＝120．

7!10!10?9?87? 解法2：C10?＝120． 7!3!3!（1）解： C7?4

例4．求证：Cn?mm?1m?1?Cn． n?m