高中数学 1.2.2组合教案 新人教版选修2-3 下载本文

§1.2.2组合

教学目标:

知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别,能判断

一个问题是排列问题还是组合问题。

m过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数?n与组合数C n之间的联系,掌握组合数公式,能运用组

m

合数公式进行计算。

情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:组合的概念和组合数公式 教学难点:组合的概念和组合数公式 授课类型:新授课 课时安排:2课时 内容分析:

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.

教学过程:

一、复习引入:

1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

N?m1?m2??mn种不同的方法 2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N?m1?m2?不同的方法 ?mn 种

3.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的...顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列...... 4.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取

出m元素的排列数,用符号An表示 mm5.排列数公式:An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)(m,n?N?,m?n)

6阶乘:n!表示正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘规定0!?1.

7.排列数的另一个计算公式:An=

mn! (n?m)!8.提出问题:

示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合. ..

二、讲解新课:

1组合的概念:一般地,从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 例1.判断下列问题是组合还是排列

(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?

(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?

(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合

2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示. ...

3.组合数公式的推导:

(1)从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢?

启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得,故我们.........可以考察一下C4和A4的关系,如下:

3333m 组 合 排列

abc?abc,bac,cab, abd?abd,bad,dab,acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,acb,bca,cbaadb,bda,dba adc,cda,dcabdc,cdb,dcb3由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有C4个;② 对每一个组合的3个

3A4不同元素进行全排列,各有A种方法.由分步计数原理得:A=C?A,所以,C?3.

A333334343334(2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An,可以分如下两步: ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn;

m② 求每一个组合中m个元素全排列数Am,根据分步计数原理得:An=Cn?Am.

mmmmm(3)组合数的公式:

Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1) C?m?Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!0 规定: Cn?1.

三、讲解范例:

例2.用计算器计算C10.

解:由计算器可得

例3.计算:(1)C7; (2)C10;

4777?6?5?4=35;

4!10?9?8?7?6?5?47(2)解法1:C10?=120.

7!10!10?9?87? 解法2:C10?=120. 7!3!3!(1)解: C7?4

例4.求证:Cn?mm?1m?1?Cn. n?m