平面解析几何

用代数方法研究几何图形的几何性质，体现着数形结合的重要数学思想．直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容，题量一般为一道解答题和两道填空题．江苏高考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解，圆锥曲线突出了直线与椭圆（理科有与抛物线）的位置关系，淡化了直线与双曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的有关问题始终是命题的热点内容之一，必考一道解答题．直线与圆锥曲线所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高，所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置关系、定点（定值）、最值以及参数的取值范围等． 本单元二轮专题和课时建议： 课时 第一课时 第二课时 第三课时 专题 直线与圆 椭圆、双曲线、抛物线 解析几何综合应用 内容说明（核心） 直线和圆的基本构成要素、点到直线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆锥曲线的定义、方程及性质、直线与椭圆的位置关系 解析几何定点与定值问题、范围与最值问题、探索问题 备注 第一课时 直线与圆

教学目标：在2013年的备考中，需要关注：

（1）直线的基本概念，直线的方程，两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识； （2）活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系； （3）对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。 一、基础回顾：

1、若直线(a2＋2a)x－y＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 2、经过x?y?2x?4y?1?0的圆心，且倾斜角为

22

?的直线方程为 . 63、直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a＝________.

4、直线x?3y?2?0与圆x2?y2?4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于 . 5、已知圆C:?x?2???y?1??2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为 .

6、过点A?0,6?且与圆C:x?y?10x?10y?0切于原点的圆的方程为 .

2222二、典型问题

基本题型一：直线的概念、方程及位置问题

例1 过点P(3,2)作直线l，交直线y＝2x于点Q，交x轴正半轴于点R，当△QOR面积最小时，求直线l的方程．

解析： 方法一：设点Q的坐标为(a,2a)，点R的坐标为(x,0)，其中x>0.

当a＝3时，△QOR的面积S＝9；

1

当a≠3时，因为P，Q，R三点共线， 2a－222a

所以＝，解得x＝(a>1)，

3－xa－3a－1

12a21∴△QOR的面积S＝|OR|·2a＝＝2[(a－1)＋＋2]．

2a－1a－11

当且仅当a－1＝(a>1)，即a＝2时，S取得最小值8.

a－1

此时点Q的坐标为(2,4)，将Q，P两点坐标代入直线方程两点式，并整理得2x＋y－8＝0.

解法二：设l的方程为x＝3或y－2＝k(x－3)， 当l的方程为x＝3时，△QOR的面积S＝9；

?y＝2x，?

当l的方程为y－2＝k(x－3)时，联立方程组?

??y－2＝kx－

，

解这个方程组，得点Q的坐标为?

?3k－2，6k－4?.

?

?k－2k－2?

3k－2??k，0?，

在方程y－2＝k(x－3)中，令y＝0，得点R的坐标为?13k－26k－4（3k－2）

∴△QOR的面积S＝··＝2，

2kk－2k－2k变形得(S－9)k2＋(12－2S)k－4＝0，

2

22因为S≠9，所以判别式Δ≥0，即(12－2S)＋16(S－9)≥0，化简，得 S－8S≥0， 当且仅当k＝－2时，S取得最小值8，此时直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，

即2x＋y－8＝0.

综上，当△QOR的面积最小时，直线l的方程为2x＋y－8＝0.

说明：直线方程是平面解析几何的基础内容，该考点属于高考必考内容，且要求较高，均属理解、掌握的内容．纵观近几年的高考试题，一般以填空题的形式出现．求直线的方程要充分利用平面几何知识，采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法；平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系，高考一般考查平行或垂直的应用．

基本策略：(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法时，要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，可以设直线l：x＝ky＋m，不能平行于x轴的直线，防止丢解．另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路．

(2) 求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．

基本题型二：圆的方程及圆的性质问题

例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29,0)．

(1) 求圆弧C2所在圆的方程；

2

(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；

解析：(1) 由题意知，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.

当x＝5时，y＝±12，所以点M(5,12)，N(5，－12)． 由对称性知，圆弧C2所在圆的方程的圆心在x轴上． 设圆弧C2所在圆的方程为(x－a)2＋y2＝r22，将M(5,12)，A(29,0) 代入，得

22

???－a＋144＝r2，? a＝14，?解得 ? 22?－a＝r2，? r2＝15.??

故圆弧C2所在圆的方程为(x－14)2＋y2＝225，即x2＋y2－28x－29＝0.

2

(2) ①如果点P在圆弧C1上，设P(x0，y0)(－13≤x0≤5)，则x20＋y0＝169.

2222由PA＝30PO，得(x0－29)2＋y20＝30(x0＋y0)，即x0＋y0＋2x0－29＝0， 所以169＋2x0－29＝0，解得x0＝－70，与－13≤x0≤5矛盾； ②如果点P在圆弧C2上，设P(x0，y0)(5≤x0≤29)，则(x0－14)2＋y20＝225，

22由PA＝30PO，得(x0－29)2＋y20＝30(x0＋y0)，解得x0＝0，与5≤x0≤29矛盾． 综上所述，曲线C上不存在点P，使PA＝30PO.

说明：对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式，利用待定系数法求

出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空题的形式直接考查，或是在解答题的综合考查． 基本策略：求圆的方程有两类方法：

(1)几何法：通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心、半径)，进而得到圆的方程．

(2)代数法：用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程． 基本题型三：直线与圆的位置关系

例3如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程；

(2)当MN＝219时，求直线l的方程；

→→(3)BQ·BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

解 (1)设圆A的半径为R.

∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

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