xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxyxyz ?(a3?b3)yzx?

zxy

a22b (3)2cd2 证明

(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0; (c?3)2(d?3)2a22b 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?c? c?c? c?c得) (c?3)2433221(d?3)2a22b ?c2d22a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?32a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?543322d?5a22b ?c2d2 1a (4)a2a41bb2b42a?12b?12c?12d?11cc2c41d d2d4222222?0? 22 ?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d); 证明 1a a2a41bb2b41cc2c41d d2d411110b?ac?ad?a ?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)

0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)111cd ?(b?a)(c?a)(d?a)b

222b(b?a)c(c?a)d(d?a)111c?bd?b ?(b?a)(c?a)(d?a)0

0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a) =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)? x0 (5)? ? ?0an?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ??xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? x?1a2x?a1

证明 用数学归纳法证明?

x?1?x2?ax?a? 命题成立? 当n?2时? D2?a122x?a1 假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有 ?1 Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 10?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 ? ? ? x00 ? ? ? ?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? 因此? 对于n阶行列式命题成立?

6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得

an1? ? ?anna1n? ? ?annann? ? ?a1n D1?? ? ?? ? ?? ? ?? D2?? ? ?? ? ?? ? ? ? D3?? ? ?? ? ?? ? ??

a11? ? ?a1na11? ? ?an1an1? ? ?a11证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D? D3?D ?

证明 因为D?det(aij)? 所以 a11an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2na11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1) 同理可证 D2?(?1) D3?(?1)

n(n?1)112D?

a? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2D? a1n? ? ?annn(n?1)2n(n?1)2D2?(?1)(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D?

7? 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)?

a (1)Dn?都是0? 解

1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素

a0 Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?0000a? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0000? ? ?a100(按第n行展开) ? ? ?0a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)0an?1 ?(?1)0? ? ?0000? ? ?0an?1n?(?1)?(?1)

? ? ?a(n?2)(n?2)?an?an?an?2?an?2(a2?1)?

x (2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得 xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00再将各列都加到第一列上? 得

x?(n?1)aaa0x?a0 Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0n?1? ? ?0?[x?(n?1)a](x?a)? ? ? ?? ? ?0x?aan(a?1)nan?1(a?1)n?1 (3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1; ? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1 解 根据第6题结果? 有 11a?1n(n?1)a Dn?1?(?1)2 ? ? ? ? ? ?an?1(a?1)n?1an(a?1)n? ? ?1? ? ?a?n? ? ? ? ? ?

n?1? ? ?(a?n)? ? ?(a?n)n此行列式为范德蒙德行列式?