。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第一章 集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 符号 2．集合间的基本关系 表示 关系 子集 基本关系 相等 真子集 文字语言 集合A的元素都是集合B的元素 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 集合A，B的元素完全相同 不含任何元素的集空集 合．空集是任何集合任意的x，x??，??A ? 符号语言 记法 自然数集 N 正整数集 N或N＋ *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R x∈A? x∈B A?B，且存在x0∈B，x0?A A?B， B?A A?B或 B?A AB或 BA A＝B A的子集 3．集合的基本运算 表示 文字语言 符号语言 图形语言 记法 1
运算 属于集合A且属于交集 集合B的元素组成的集合 属于集合A或属于并集 集合B的元素组成的集合 全集U中不属于集补集 合A的元素组成的集合 4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A是其本身的子集，即A?A； (2)子集关系的传递性，即A?B，B?C?A?C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?，?UU＝?，?U?＝U. (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B. [小题体验]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0 2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________． 答案：5 3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________. 答案：{x|0≤x<2} 1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． [小题纠偏] 2 {x|x∈A，且x∈B} A∩B {x|x∈A，或x∈B} A∪B {x|x∈U，且x?A} ?UA B．2 D．4 1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(?UA)∩B等于( ) 7??A.?－2，? 6??7??C.?－2，? 6?? ???7 解析：选A 依题意得A＝?x?x≥ 6?????7? 因此(?UA)∩B＝?x?－2 ?7?B.?，＋∞? ?6? 7??D.?－2，－? 6?? ?????7 ?，?UA＝?x?x ?? ?；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，?? 2 . 2．已知集合A＝{x∈N|x－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________． 解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，?，共8个． 答案：8 3．已知集合A＝{0, x＋1，x－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________． 解析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x－5x＝－4. ∴x＝－5或x＝1或x＝4. 若x＝1，则A＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x＝4，则A＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x＝1或x＝4或－5. 答案：1或4或－5 考点一 集合的基本概念 基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( ) A．3 C．8 B．6 D．9 2 2 解析：选D 集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个． 222 2．已知a>0，b∈R，若?a，4，?＝{a－b,0，a}，则a＋b的值为( ) ?? b?a? A．2 C．6 B．4 D．8 3 解析：选B 由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>0，所以a＝2，故a＋b＝2＋0＝4. 3．若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( ) 9A. 2C．0 9B. 89 D．0或 8 2 22 2 2 2 ba2 解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 2 当a＝0时，x＝，符合题意． 3 92 当a≠0时，由Δ＝(－3)－8a＝0，得a＝， 89 所以a的值为0或. 8 4．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则m的值为________． 322 解析：由题意得m＋2＝3或2m＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2312 ＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m＋m＝3， 223 故m＝－. 2 3 答案：－ 2 [谨记通法] 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题． 考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x?M}的子集有( ) A．8个 C．3个 B．4个 D．2个 2 2 解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有2＝4个． 4 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B?A，则实数a的值为( ) A．3 C．2或3 B．2 D．0或2或3 解析：选D 由题意可得，因为B?A，所以B＝{2}，{3}或?；若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝?，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3. [由题悟法] 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 [即时应用] 1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为( ) A．32 C．30 B．31 D．29 5 解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为2＝32个，其真子集的个数为2－1＝31个． 2．已知集合A＝{x|－1 当B?A时，在数轴上标出两集合，如图， －m≥－1，?? ∴?m≤3，??－m 5 ∴0 综上所述m的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 考点三 集合的基本运算题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 5