常见的命题角度有： (1)集合的运算； (2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：集合的运算
1．(2018·宁波模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，则B＝( )
A．{2,4,6} C．{0,2,4,6}
B．{1,3,5} D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：选C 因为U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．
2．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≥4}，则P∪(?RQ)＝( )
A．[2,3] C．[1,2)
解析：选B ∵Q＝{x∈R|x≥4}，
∴?RQ＝{x∈R|x＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}． ∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]． 角度二：利用集合运算求参数
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x A．(－1,0) C．(－2,2) B．[－1,0) D．[－1，＋∞) 2 2 2 B．(－2,3] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：选A 因为A∩B≠?，所以a>－1，又因为a<0，所以－1 4．(2015·浙江高考)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数， 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)． A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 6 D．命题①不成立，命题②成立 解析：选A 命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)＞card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件； 命题②成立，由Venn图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)， d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)， d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)， ∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C) ＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C) －2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)] ＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C) ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)] ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)] ＝[2card(B)－2card((A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0， ∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证． [通法在握] 解集合运算问题4个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决 [演练冲关] 1．(2018·台州模拟)若集合A＝{x|－1 C．(－1,1)∪[2，＋∞) B．(－1，＋∞) D．? 对集合化简 应用数形 创新性问题 解析：选C 因为x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞)，所以A∪B＝(－1,1)∪[2，＋∞)． 2．若集合A＝{x∈R|ax＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 C．0 2 2 B．2 D．0或4 解析：选A 由题意得方程ax＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解； 7 当a≠0时，则Δ＝a－4a＝0，解得a＝4(a＝0不符合题意，舍去)． 3．(2018·吴越联盟模拟)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则满足条件的P的子集有( ) A．2个 C．6个 B．4个 D．8个 2 解析：选B 因为P＝M∩N＝{2,4}，所以集合P的子集有?，{2}，{4}，{2,4}，共4个． 4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x}，B＝{y|y＝3，x>0}，则AB为( ) A．{x|0 C．{x|0≤x≤1或x≥2} B．{x|1 2 x解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} C．{0,1,2,3} B．{1,2} D．{－1,0,1,2,3} 解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1 2．(2018·浙江三地联考)已知集合P＝{x||x|<2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝( ) A．[－1,2) C．(－2,3] B．(－2,2) D．[－1,3] 解析：选A 由|x|<2，可得－2 B．A∪B＝R D．A∩B＝? x解析：选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}， ∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A. 4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________． 解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0. 答案：0 8 5．已知A＝{x|x－3x＋2<0}，B＝{x|1 二保高考，全练题型做到高考达标 ??3 ∈Z?，则集合A中的元素个数为( ) 1．已知集合A＝?xx∈Z，且 2－x?? 2 2 A．2 C．4 解析：选C ∵ 3 ∈Z， 2－xB．3 D．5 ∴2－x的取值有－3，－1,1,3， 又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1， 故集合A中的元素个数为4. ??1?x?2 2．(2018·杭州名校联考)已知全集为R，集合A＝?yy＝???，B＝{x|y＝log2(－x＋6x?2??? －8)}，则A∩(?RB)＝( ) A．{x|0 B．{x|2≤x≤4} D．{x|x≤0} 1?x?2 解析：选A 由y＝??，得y>0，即A＝{y|y>0}，由－x＋6x－8>0，解得2 ?2??RB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∩(?RB)＝{x|0 3．(2018·永康模拟)设集合M＝{x|x－2x－3≥0}，N＝{x|－3 2 2 B．N?M D．M∩N＝? 解析：选C 由x－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R. 4．(2018·河南六市第一次联考)已知集合A＝{x|x－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．(0,3) C．(0,1) B．(0,1)∪(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 2 2 解析：选B ∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a－3a<0，解得0 5．已知集合A＝{x|x－5x－6<0}，B＝{x|2<1}，则图中阴影部分表示的集合是( ) 2 x 9 A．{x|2 2 B．{x|－1 x解析：选C 由x－5x－6<0，解得－1 6．设集合A＝{x|x－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________. 解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1， 2 x∈Z}＝{－1,0}． 答案：{－1,0} 7．(2017·嘉兴二模)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x－4x≤0}，则A∪B＝________，A∩(?RB)＝________. 解析：因为B＝{x|x－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}；因为?RB＝{x|x<0或x>4}，所以A∩(?RB)＝{x|－1≤x<0}． 答案：{x|－1≤x≤4} {x|－1≤x<0} 8．设集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠?. (1)b的取值范围是________； (2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是________． 解析：由图可知，当y＝－x往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b≥2；要使z＝x＋2y取得最大值，则过点(0，b)，有0＋2b＝9?b9＝. 2 9 答案：(1)[2，＋∞) (2) 2 9．已知集合A＝{x|4≤2≤16}，B＝[a，b]，若A?B，则实数a－b 的取值范围是________． 解析：集合A＝{x|4≤2≤16}＝{x|2≤2≤2}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 10．已知集合A＝{x|x－2x－3≤0}，B＝{x|x－2mx＋m－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值； (2)若A??RB，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}， 2 2 2 2 2 xx2x4 B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． 10