(1)因为A∩B＝[0,3]， 所以?

??m－2＝0，??m＋2≥3.

所以m＝2.

(2)?RB＝{x|xm＋2}， 因为A??RB，

所以m－2>3或m＋2<－1， 即m>5或m<－3.

因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2018·杭州名校联考)设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(?

R

A)∩B＝( )

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞)

B．[－1,1] D．[1，＋∞)

解析：选C 由题可得，A＝[－1,1]，所以?RA＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又B＝(0，＋∞)，所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．

2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝

???9

?x?x≥－，x∈R

4???

??

?，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝( ) ??

?9?A.?－，0?

?4?

9??C.?－∞，－?∪[0，＋∞) 4??

?9?B.?－，0?

?4?

9??D.?－∞，－?∪(0，＋∞) 4??

???9

解析：选C 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝?x?x<－，x∈R?

4???

，故A⊕B＝

?－∞，－9?∪[0，＋∞)．故选C.

??4??

3．设全集U＝R，且集合A＝{x|x－2x－8≤0}，集合B＝{x|x＋2x－3>0}，C＝{x|x－3ax＋2a<0}．

(1)求A∩B；

(2)试求实数a的取值范围，使得C?A∪(?UB)． 解：(1)因为A＝{x|x－2x－8≤0}＝[－2,4]，

2

2

2

2

2

B＝{x|x2＋2x－3>0}＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，

所以A∩B＝(1,4]．

(2)由题可得，?UB＝[－3,1]， 所以A∪(?UB)＝[－3,4]．

11

因为C＝{x|x－3ax＋2a<0}＝{x|(x－a)(x－2a)<0}， 所以当a<0时，C＝(2a，a)， 因为C?A∪(?UB)，

33

所以此时只需－3≤2a，解得a≥－，所以－≤a<0.

22当a＝0时，C＝?，满足C?A∪(?UB)，所以a＝0. 当a>0时，C＝(a,2a)， 因为C?A∪(?UB)，

所以此时只需满足2a≤4，解得a≤2，所以0

综上可知，要使得C?A∪(?UB)，只需－≤a≤2.

2

22

?3?故所求实数a的取值范围为?－，2?. ?2?

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充要条件

12

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 /p?q且q? p A是B的真子集 p是q的必要不充分条件 /p? q且q?p B是A的真子集 A＝B A，B互不包含 集合与 充要条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [小题体验]

p?q //p? q且q? p 1．下列命题是真命题的是( )

A．若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域上是减函数 B．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题

C．“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0垂直”的充要条件 D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题 答案：B

2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的______条件． 答案：充要

3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝| b|”的逆否命题为：________. 答案：若|a|≠|b|，则a≠－b

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A?B且B?/A)与A的充分不必要条件是B(B?A且

A?/B)两者的不同．

[小题纠偏]

1．(2018·杭州模拟)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案：B

2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

13

在△ABC中，∠C＝90°， 结论：∠A，∠B都是锐角． 否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC中，若∠C≠90°， 则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

考点一 四种命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．命题“若a>b，则a>b”的否命题是( ) A．若a>b，则a≤b C．若a≤b，则a>b

2

2

2

2

2

2

B．若a≤b，则a≤b D．若a≤b，则a≤b

2

2

22

解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈

q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：

若a≤b，则a≤b.

2．命题“若x＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝4，则x＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x＋3x－4＝0”为假命题

解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

3．给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤－1，则x＋x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④若ab是正整数，则a，b都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．

2

2

2222

2

2

2

14

答案：①③

[谨记通法]

1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视． 2．命题真假的2种判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断． 考点二 充分必要条件的判定重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2018·绍兴模拟)已知a，b为实数，则“a＝0”是“f(x)＝x＋a|x|＋b为偶函数”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2

22

解析：选A 由题可得，因为f(－x)＝(－x)＋a|－x|＋b＝x＋a|x|＋b＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，此时a∈R.所以“a＝0”是“f(x)＝x＋a|x|＋b为偶函数”的充分不必要条件．

2．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2

a8－8

解析：选D ∵当a≠0时，＝＝?直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线

2a－al1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.

[由题悟法]

充要条件的3种判断方法

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

[即时应用]

1．设a>0，b>0，则“a＋b≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

2

2

15