?3?∵x∈?，2?， ?4?

7

∴≤y≤2， 16

???7

∴A＝?y?≤y≤2

???16

2

??

?. ??

2

由x＋m≥1，得x≥1－m， ∴B＝{x|x≥1－m}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 72

∴A?B，∴1－m≤，

1633

解得m≥或m≤－，

44

3??3??故实数m的取值范围是?－∞，－?∪?，＋∞?.

4??4??三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2018·吴越联盟)若“x＝1”是“(x－a)(x－a－2)≤0”的充分不必要条件，则实数

2

a的取值范围是( )

A．[－1，＋∞) C．[－1,1]

B．(－1,1) D．(－∞，1]

?a≤1，?

解析：选C 由(x－a)(x－a－2)≤0，得a≤x≤a＋2.要使条件成立，则?得－1≤a≤1.

??a＋2≥1，

解

2．设n∈N，关于x的一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析：因为方程有根，所以Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，因为n∈N，所以n＝1,2,3,4.当n＝4时，方程的根为2，满足条件；当n＝3时，方程的根为1,3，满足条件；当n＝1,2时，方程的根不是整数，所以不满足条件．所以使得方程有整数根的充要条件是n＝3,4.

答案：3,4

3．已知全集U＝R，非空集合A＝?x题p：x∈A，命题q：x∈B.

(1)当a＝12时，若p真q假，求x的取值范围； (2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝12时，A＝{x|2

21

*

*2

x－2

a＋?x－

?

<0?，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0，命

?

?

(2)若q是p的必要条件，即p?q，可知A?B. 因为a＋2＞a，所以B＝{x|a＜x＜a＋2}． 1

当3a＋1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，

3

??a≤2，

应满足条件?2

??a＋2≥3a＋1，

2

2

13－5

解得

32

1

当3a＋1＝2，即a＝时，A＝?，不符合题意；

31

当3a＋1＜2，即a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，

3应满足条件?

??a≤3a＋1，??a＋2≥2

2

11

解得－≤a<；

23

?11??13－5?.

综上所述，实数a的取值范围为?－，?∪?，??23??32?

命题点一 集合及其运算 命题指数：☆☆☆☆☆ 1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( ) A．{1,2,3,4} C．{2,3,4}

B．{1,2,3} D．{1,3,4}

难度：低 题型：选择、填空题 解析：选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．

2．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{2} C．{1,2,4,6}

B．{1,2,4}

D．{x∈R|－1≤x≤5}

解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1

B．(0,1) D．(1,2)

解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．

4．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x－2x≥0}，Q＝{x|1

2

22

A．[0,1) C．(1,2)

2

B．(0,2] D．[1,2]

解析：选C 由x－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．

又Q＝{x|1＜x≤2}＝(1,2]，所以(?RP)∩Q＝(1,2)．

5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )

A．3 C．1

2

2

2

2

B．2 D．0

解析：选B 因为A表示圆x＋y＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x＋y＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

6．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．

解析：因为a＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1. 答案：1

命题点二 充要条件 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题 2

2

2

2

1.(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋

S6>2S5”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1

＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5.

2．(2015·浙江高考)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选D 特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0?/ ab＞0； 当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0， 所以ab＞0?/ a＋b＞0.

23

故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．

3．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B 由2－x≥0，得x≤2， 由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2，

故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

π?π1?4．(2017·天津高考)设θ∈R，则“?θ－?<”是“sin θ<”的( ) 12?122?A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

π?ππ?解析：选A 法一：由?θ－?<，得0<θ<，

12?126?

π?π117ππ?故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“?θ－?<”．

12?122266?π?π1?故“?θ－?<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．

12?122?

π?ππ11π?ππ??法二：?θ－?

＝>. 412

π?π1?故“?θ－?<”是“sin θ<”的充分而不必要条件． 12?122?

5．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A ∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|. ∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.

2

?π?反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈?，π?，

?2?

24

?π?当〈m，n〉∈?，π?时，m，n不共线． ?2?

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

6．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A 由题意知a?α，b?β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.

命题点三 四种命题及其关系 命题指数：☆☆☆ 难度：低 2 题型：选择题 1.(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )

A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

2．(2014·陕西高考)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A．真，假，真 C．真，真，假

B．假，假，真 D．假，假，假

2

2

2222

解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.

25