数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列

(1)若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

(2)数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

(3)若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d (4)若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1? bmT2m?1(5)?an?为等差数列?Sn?an2?bn(a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；数)。或者求出?an?中的正、负分界项，(即：

?an?0当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值;当a1?0，d?0，由

a?0?n?1?an?0可得Sn达到最小值时的n值. ) ??an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项) S偶?S奇?nd，

S奇S偶?an. an?1，有

(7)项数为奇数2n?1的等差数列?an?S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?S偶?an，

.

S奇S偶?n. n?12. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1?q(q为常数，q?0)，an?a1qn?1

.an等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.

?na1(q?1)?前n项和：Sn??a1?1?qn?

(q?1)?1?q?性质：?an?是等比数列

·an?ap·aq (1)若m?n?p?q，则am(2)Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 3．求数列通项公式的常用方法

?Sn?Sn?1,n?2 ◆ 由Sn求an。( an?? )

?S1,n?1111例1：数列?an?，a1?2a2?……?nan?2n?5，求an

2221解 n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14

2111 n?2时，a1?2a2?……?nan?2n?5 ①

222111a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5 ②

22 2?14(n?1)1n?1①—②得：nan?2，∴an?2，∴an??n?1

22(n?2)?5［练习］数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an

3注意到an?1?Sn?1?Sn，代入上式整理得

Sn?1?4，又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Snn?1·4故Sn?4。n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3n?3?4n?1,n?2故an??

?4,n?1

.

◆由递推公式求an

(1)累加法(an?1?an?f(n)形式)

例2：数列?an?中，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an

an?an?1?3n?1??3(3n?1?1)an?1?an?2?3n?2?2n?1解：n?2时， ? 累加得an?a1?3?3???3?2????a2?a1?3? ?an?(2)累乘法(

1n(3?1) 2an?1?f(n)形式) anan例3：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an

ann?1解：

aaa2a312n?113·……n?·……，∴n?又a1?3，∴an?a1a2an?123na1nn.

(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列) ▼取倒构造(

an?1等于关于

an的分式表达)

例4：a1?1，an?1?2an，求an an?2解：由已知得：

a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?a1an222?an?∴an?2n?1

▼ 同除构造

例5：a1?1,an?1?3an?3n,求an。 解：对上式两边同除以3n?1，得

an?1an1a11?an????，，则为等差数列，?n?n?1n33333?3?.