真题演练集训

1．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

答案：1和3

解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．

2．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1

，xi∈M，i＝1,2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A； (2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1

，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1

，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，

n.

证明：若an

(1)解：当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·2，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1

2

，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1

，ai，bi∈M，i＝

n－1

1,2，…，n及an

n－2

＋(an－bn)q≤(q－qn－1

＝

q－1

1－q1－qn－1

－qn－1

＝－1<0，所以s

课外拓展阅读

反证法应用举例

反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：

一 证明否定性命题

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1) 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2， 111

两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝n－1. 222(2) 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p

111r－qr－p则2·q＝p＋r，所以2·2＝2＋1.(*)

222又因为p

所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．

用反证法证明问题的一般步骤

*

*

二 证明存在性问题

若f(x)的定义域为，值域为(a

(1)设g(x)＝x－x＋是上的“四维光军”函数，求常数b的值；

22(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

12

(1)由已知得g(x)＝(x－1)＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间在对称轴的右边，所

2以函数在区间上单调递增．

由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，

1

是区间上的“四维光军”函数？若存x＋2