离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案-南京廖华答案网

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第七章作业评分要求：

1. 合计100分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置.

1 设R={|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】 (1) 求R的集合表达式(列元素法); (2) 求domR, ranR; (3) 求R?R;

(4) 求R?{2,3,4,6}; (5) 求R[{3}]; 解

(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】 (2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】 (3) R?R={<3,3>, <0,4>}【2分】

(4) R?{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】 (5) R[{3}]={3}【2分】

2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明: (1)R?(F∪G)=R?F∪R?G (2)R?(F∩G)?R?F∩R?G (3)R?(F?G)=(R?F)?G.

【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明

(1)?,

∈R?(F∪G)

? ?t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义

? ?t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律 ? ?t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy) ?对∨分配律 ? x(R?F)y∨x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义得证

(2)?,

x(R?(F∩G))y

? ?t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义

? ?t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律 ? ?t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律 ? x(R?F)y∧x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义

得证

(3)?,

∈R?(F?G)

? ?s (∈R∧∈(F?G)) ?定义

? ?s (∈R∧?t (∈F∧∈G))) ?定义 ? ?s?t(∈R∧∈F∧∈G) 辖域扩张公式 ? ?t?s((∈R∧∈F)∧∈G) 存在量词交换 ? ?t(?s(∈R∧∈F)∧∈G) 辖域收缩公式 ? ?t(∈(R?F)∧∈G) 复合定义 ? ∈(R?F)?G 复合定义得证

3 设F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.

【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】解 F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}={|－2∈F显然. 对称性: ?,

∈F?－2∈F. 不具有反自反性: 反例 <2,2>∈F

不具有反对称性: 反例 <2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3 不具有传递性: 反例 <2,>,<,5>∈F, 但<2,5>不属于F.

4 设A={a,b,c}, R={,}, (1) 给出R的关系矩阵;

(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)

【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】解

(1)R的关系矩阵M(R)为 0 1 1 0 0 0 0 0 0 (2)

不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1 是反自反的: M(R)的主对角线全为0 不具有对称性: M(R)不是对称的

是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1

是传递的: M(R)如下 0 0 0 0 0 0 0 0 0

显然满足: 如果M(R)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为1

5 设A≠?, R?A×A, 证明 (1) r(R)=R∪IA

-1

(2) s(R)=R∪R

【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】证明

(1) 只要证明r(R)?R∪IA和R∪IA?r(R)即可先证r(R)?R∪IA: IA?R∪IA

? R∪IA自反 (自反性的充要条件) ? r(R)?R∪IA (自反闭包的最小性) 再证R∪IA?r(R):

R?r(R)∧IA?r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件) ? R∪IA?r(R) 得证

-1-1

(2) 只要证明s(R)?R∪R及R∪R?s(R)即可

-1

先证s(R)?R∪R:

-1-1-1

(R∪R)=R∪R (理由如下: ?,

-1-1

∈(R∪R)

-1

? ∈R∪R (逆运算定义)

-1

? ∈R∨∈R (∪定义)

-1

? ∈R∨∈R (逆运算定义)

-1

? ∈R∪R (∪定义, ∪交换律)

-1-1-1

所以 (R∪R)=R∪R ) -1

? R∪R是对称的 (对称性的充要条件)

-1

? s(R)?R∪R (对称闭包的最小性)

-1

再证R∪R?s(R):

-1

R?s(R) (闭包定义) ∧ R?s(R) (后者理由如下: ?,

-1

∈R

? ∈R (逆运算定义) ? ∈s(R)

? ∈s(R) (s(R)是对称的)

-1

所以 R?s(R) )

-1

? R∪R?s(R) 得证

6 设A={a,b,c,d}, R={,,,,,}, 用Warshall算法求t(R).

【本题合计8分】

解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】 W0=M(R)= 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

【1分】

W1= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 【1分】

W2= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 【1分】

W3= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 【1分】

W4= 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 【1分】即

t(R)={,,,,,,,,,,,}.【1分】

-1

7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明R∩R是A上的等价关系. 【本题合计10分】证明

自反性: ?x∈A,

-1-1

xRx∧xRx? x(R∩R)x【3分】对称性: ?x,y∈A,

-1-1-1-1

x(R∩R)y? xRy∧xRy? yRx∧yRx? y(R∩R)x【3分】传递性: ?x,y,z∈A,

-1-1-1-1

x(R∩R)y∧y(R∩R)z? xRy∧xRy∧yRz∧yRz

-1-1-1-1

? (xRy∧yRz)∧(xRy∧yRz)? xRz∧xRz? x(R∩R)z【4分】得证.

8 设A={1,2,3,4}, 在A×A上定义二元关系R, ?,∈A×A, R?u+y=v+x (1)证明R是A×A上的等价关系; (2)确定由R引起的对A×A的划分. 【本题合计10分】解

(1)自反性: ?∈A×A, R显然成立.【2分】

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