2005年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析

填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

x211（1）曲线y? 的斜渐近线方程为 y?x?.

2x?124【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

f(x)x21?lim2?， 【详解】 因为a=limx??x??2x?xx2 b?lim?f(x)?ax??limx???x1??，

x??2(2x?1)411x?. 24于是所求斜渐近线方程为y?111（2） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为y?xlnx?x..

939【分析】 直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：

??P(x)dxP(x)dx?y?e[Q(x)edx?C]， ?再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

y??2y?lnx， x?xdx2于是通解为 y?e??xdx2[?lnx?edx?C]?1?[?x2lnxdx?C] 2x111=xlnx?x?C2， 39x111由y(1)??得C=0，故所求解为y?xlnx?x.

939?x2y2z21??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n?6121833?u=. 3?n(1,2,3)?【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量n?{cos?,cos?,cos?}的方向导数为：

?u?u?u?u?cos??cos??cos?

?n?x?y?z因此，本题直接用上述公式即可.

【详解】 因为

?u?n?uy?ux?uz?，?，?，于是所求方向导数为 ?y6?x3?z9

1111113=??????. (1,2,3)3333333（4）设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界的外侧，则??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R. 2【分析】 本题?是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.

【详解】 ??xdydz?ydzdx?zdxdy?????3dxdydz

?

? =3??2d??4sin?d??d??2?(1?000R2?23)R. 2（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? 2 . 【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有

B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)

?111??， 123 =(?1,?2,?3)?????149??111于是有 B?A?123?1?2?2.

149（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则

P{Y?2}=

13 . 48【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

【详解】 P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2} +P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4}