http://www.tigu.cn/question_8_570_65272_1_1_0_50046544.htm

解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴（2）当∠B+∠EGC＝180°时，

DEAD?． CFDCDEAD?成立，证明如下： CFDC 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM， ∵∠B+∠EGC＝180°， FDAM∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

G ∴△ADE∽△DCM，

EDEADDEAD??∴，即．

BCMDCCFDCC第24题图②DE25?（3）． CF24 9、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1． （1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，

．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

考点：四边形综合题． 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论； （2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．

①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；

②注意中心对称、轴对称的几何性质． 解答：（1）证明：∵∠EPF=45°， ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；

而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°， 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°， ∴∠APE=∠CFP．

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（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°， ∴△APE∽△CPF，则

．

AB=

，

而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=又∵P为对称中心，则AP=CP=， ∴AE=

=

=．

如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2． S△APE=

=×2×=，

∵阴影部分关于直线AC轴对称，

∴△APE与△APN也关于直线AC对称， 则S四边形AEPN=2S△APE=而S2=2S△PFC=2×

； =2x，

﹣2x，

∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣

∴y===+﹣1．

∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°， ∴2≤x≤4．

令=a，则y=﹣8a+8a﹣1，当a=

2

=，即x=2时，y取得最大值．

而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1． ∴y关于x的函数解析式为：y=

+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，

而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称， 则EB=BF，即AE=FC， ∴=x，解得x=， 代入x=，得y=﹣2．

点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的

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计算，需要细心计算避免出错．

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