模拟练习题
1. 给定两序列x[n] 和 h[n], 长度分别为N 和M, 则其线性卷积的长度为( ).
2. 单位冲激序列与单位阶跃序列的关系为 ( ).
3. 已知LTI离散时间系统的单位冲激响应h[n] =δ[n-2], 则系统对输入x[n]的输出响应y[n]为 ( ).
4. 假设LTI 离散时间系统的单位阶跃响应为s[n], 则其单位冲激响应h[n] 可表示为( ).
5. 对连续时间信号x(t) = sin(200πt) 以 FT = 50 Hz进行抽样, 可得离散时间序列x[n] = ( ).
6. LTI 离散时间系统的单位冲激响应h[n] = 0.5n+1μ[n+1],则系统为( ). (稳定, 因果)
7. 确定下述序列的DTFT（结合性质）:
x[n]??n?[n?1],x[n]?n?n?[n],x[n]??n?[?n?1],??1 ??1 ??1
8. 令长度为9的序列x[n]的DTFT为X(ej?) X[n] = {2 3 -1 0 -4 3 1 2 4} 求:
??j? (a) X(e) (b) X(e) (c)
j0j????X(e)d? (d)
???X(ej?)d?
29. 考虑 LTI 离散时间系统单位冲激响应h[n] = 0.5nμ[n].确定系统的频率响应 H(ej?) 并计算其在ω = ±π/5的值.；求系统对输入x[n] = sin(πn/3) μ[n]的稳态响应y[n]?
10.
h[n]?已知LTI 离散时间系统的单位冲激响应
?n2?nsin[?(n?2)/3])，求系统的输,???n??,输入 x[n]?3sin()?5cos(35?(n?2)出y[n]。
11. 序列x[n] 是对连续时间信号xa(t) 以抽样频率FT = 1000Hz抽样获得的，其 16点 DFT X[k]位:
X[k] =[0 -j4 -j4 -j4 -j4 0 0 0 0 0 0 0 j4 j4 j4 j4]
k?1,2,3,4??j4,?k?12,13,14,15 或表示为： X[k]??j4,?0,otherwise?假设时域和频域抽样没有混叠。 (1). 求X[k]的IDFT，即x[n]。 (2). 确定连续时间信号xa(t)的表达式。
12.令xa(t) 为一连续带限周期信号，其周期为T=2s. 而离散时间序列x[n] 通过对xa(t)以FT = 10Hz 无混叠抽样获得。序列x[n]的DFT记为X[k]， xa(t)和x[n]在一个周期内的图像如图a和图b所示，X[k]如图c所示。
a. x[n]含有多少正弦频率分量? 给出相应频率成分? b. x[n]含有多少正弦频率分量? 给出相应频率成分?
13. 求下列序列的z变换及其收敛域。设???， 绘制其零极点图并在图中描述出其ROC。
a. x1[n]?(?n??n)?[n] b. x2[n]??n?[?n?1]??n?[n] c. x2[n]??n?[?n?1]??n?[n]
2. 计算下列z反变换。
z(z?1)z(z?1)a. Y1(z)?,z?1 b. Y2(z)?,11(z?1)(z?)(z?1)(z?)33z(z?1)1c. Y3(z)?,?z?1
13(z?1)(z?)314. 给定一因果的IIR离散时间系统，其传输函数描述如下：
1 H(z)?.
1?0.6z?1假设系统的输入序列x[n]=(0.4)nμ[n]。
(a) 求系统的单位冲激响应h[n]。
1z?
3(b) 利用z变换求系统的输出响应y[n]。
(c) 求系统的幅频响应|H(ej?)| 和相频响应?(?)。 解:
(a). 因为系统因果，所以h[n]为因果序列，对H(z)进行Z反变换，可得：
1(b).输入x[n]的Z变换为： X(z)?
1?0.4z?1 则输出的Z变换为：
11? Y(z)?H(z)X(z)? ?1?11?0.6z1?0.4z 利用部分分式展开法，有：
32? Y(z)? ?1?11?0.6z1?0.4z 进行Z反变换，得： y[n]?3(0.6)n?[n]?2(0.4)n?[n] (c).
利用ejω 替代Z，可得H(ej?)： H(ej?)? 则，幅频响应为：
H(ej?)?11?
221?0.6cos(?)?j0.6sin(?)[1?0.6cos(?)]?0.36sin(?)11?
1?0.6e?j?1?0.6cos(?)?j0.6sin(?)H(ej?)? 相频响应为：
11.36?1.2cos(?)
?(?)??tan?10.6sin(?)
1?0.6cos(?)15. 一因果LTI离散时间系统的传输函数H(z)有两个零点-1, 1及两个极点0.2, 0.3, 已知H(0) = -2.5。
(a). 求H(z)；
(b).系统是否稳定，为什么？ (c). 求系统的单位冲激响应h[n]
(d). 已知输入x[n] = (0.2)nμ[n], 求输出响应y[n]。 16.如图所示的数字滤波器结构，求传输函数H(z)。
17 一LTI离散时间系统的零极点图如下所示：
(a). 若H(ejω)|ω=0 = 1,求系统的传输函数H(z)。
(b). 如果系统因果且稳定，求系统的单位冲激响应h[n]。 (c). 如果系统因果且稳定，求系统的频率响应H(ejω)。
Figure 6
18. 给定一FTR数字滤波器，其单位冲激响应h[n]如图所示：
(a). 求频率响应H(ejω).
(b). 如果H(ej?)?H(?)ej?(?), 其中， H(ω) 为关于 ω的实函数, ?(?)
为相位响应，求H(ω) 和?(?)，滤波器具有线性相位吗?
(c). 绘制滤波器的直接型结构。
h[n]
n
Figure 7
19. 利用双线性变换法设计一个IIR低通数字滤波器，其参数给定如下：通带截止频率为?p?0.2?rad, 阻带截止频率为?s?0.3?rad,通带衰减为
?p?1dB, 阻带衰减为?s?15dB. 模拟低通滤波器设计采用巴特沃兹逼近，
设抽样间隔为T?1s。 注：相关计算公式如下：
?p?tan(?p?p?) ?s?tan(s) k? k1?22?s?A2?1 N?log10(1/k1)
log10(1/k)?p??20log10(1??2) ?s??20lo10g(A) ?c??pN1/?
附表：巴特沃兹归一化模拟低通滤波器部分参数
阶数(N) 1 2 3 4 5 6 分母多项式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+…..+b1s+b0的系数 b0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 b1 1.4142 2.0000 2.6131 3.2361 3.8637 b2 2.0000 3.4142 5.2361 7.4641 b3 2.6131 5.2361 9.1416 b4 3.2361 7.4641 b5 3.8637 ?3z?320. 令X(z)?，
2?5z?1?2z?2(1). 若X(z) 的ROC 为0.5?z?2，求反变换x[n]； (2). 若X(z) 的ROC 为z?2，求反变换x[n]。 21. 一离散时间LTI系统的输入输出关系描述为：
y[n]?y[n?1]?y[n?2]?x[n?1]
(1). 求传输函数H(z),绘制零极点图和系统的直接II型结构； (2). 如果系统因果，指定H(z)的收敛域ROC，并求系统的单位冲激响
应h[n]；
(3). 如果系统稳定，指定H(z)的收敛域ROC ，并求系统的单位冲激
响应h[n]。
22 给定一因果FIR滤波器：H(z)?1?z?1?z?2?z?3
a. 求单位冲激响应h[n]；