第三节定积分和微积分基本定理
考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲 一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效f?x?在区间[a，b]上连续.用分点a=x0 i?1?i?1nb?a当Dx无限接近于0（亦即n???）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，f(?i)， n那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分．记为：S??baf(x)dx，f(x)为 被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，b为积分上限，a为积分下限． 需要注意以下几点： （1）定积分 ?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时），称为 ?baf(x)dx，而不是Sn． b?af(?i)；?ni?1n（2）用定义求定积分的一般方法. ①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点?i??xi?1,xi?；③求和：④取极限： ?baf(x)dx?lim?f??i?n??i?1nb?a nt2（3）曲边图形面积：S?2．定积分的几何意义 ?baf?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功S??F(x)dx t1ba从几何上看，如果在区间[a,那么定积分b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0， ?f?x?dx表 ab示由直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分 ?f?x?dx的几何意义． ab 一般情况下，定积分 ?baf(x)dx的值的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线 x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取 负号． 二、基本性质 ?1dx?b?a. 性质2 ?kf(x)dx?k?f(x)dx(其中k是不为0的常数)（定积分的线性性质）. 性质3 ?[f(x)?f(x)]dx??f(x)dx??f(x)dx（定积分的线性性质）. 性质4 ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b)（定积分对积分区间的可加性） 推广1 ?[f(x)?f(x)??f(x)]dx??f(x)dx??f(x)dx???f(x) 推广2 ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx???f(x)dx． 性质1 abbbababbab12a1a2cbaacbbbbaba12ma1a2amc1c2bac1ck三、基本定理 设函数f(x)是在区间[a,b]上连续，且F?x?是f(x)是在[a,b]上的任意一个原函数， 即F'(x)?f(x)，则 ?baf(x)dx?F(b)?F(a)，或记为?baf(x)dx?F?x?b? aF(b)?F(a)，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理． 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数f?x?的一个原函数 F?x?．然后计算原函数F?x?在区间?a,b?上的增量F(b)?F(a)即可，这一定理提示了 定积分与不定积分之间的内在联系． 题型归纳及思路提示 题型51 定积分的计算 思路提示 对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算解析 ??x-112?sinx?dx= ． ??x-1412?1?1?1??1?2?sinx?dx=?x3?cosx????cos1?????cos1??． ?3??1?3??3?3A. B. C. D. 1?2xdx??? A.-2ln2 B. 2ln2 C.-ln2 D. ln2 变式1 变式2 ?(e01x?2x)dx??2? ?1A.1 Be. C.e D. e+1 变式3 设函数f?x??ax?c?a?0?，若为 ． ?f?x?dx?f?x??0?x0010?1?，则x0的值 变式4 设函数y?f?x?的定义域为R, 若对于给定的正数k，定义函数 ?k,f(x)?k21fk?x???，则当函数f?x??,k?1时，定积分?1fk?x?dx的值为 x4?f?x?,f?x??k（ ） A.2ln2?2 B. 2ln2?1 C.2ln2 D. 2ln2?1 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分 （1） ?0?2?x?dx； （2）??1411?x2dx 分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解. 解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故 ??2?x?dx?0． 04 （2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线x?y?1?y?0?和x轴围成图形（如 22图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是评注 定积分 b1??2，故?1?xdx=． ?122??x?dx的几何意义是函数和直线x?a,x?b以及x轴所围成的图形面积的 a代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,f?x??0面积是正值，当函数f?x??0时，积分值是负值． 变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1） ??x?2?dx； （2）?040?24?xdx； （3）?210?0sinxdx； （4）??sinxdx． ?43?4题型52 求曲边梯形的面积 思路提示 函数y?f?x?,y?g?x?与直线x?a,x?b?a?b?围成曲边梯形的面积为 S??|f?x??g?x?|dx，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形 ab的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例3.27 由曲线y?x,y?x围成的封闭图形的面积为（ ） 231117 B. C. D. 1243122323解析 由x?x得x?0或x?1,则由y?x和y?x围成的封闭图形的面积为1?1314?111123x?x????，故选A． ?0x?xdx??34?03412?A. ??变式1（2012湖北理3）已知二次函数y?f?x?的图象如图3-16所求，则它与x轴所围成