三阶实矩阵求特征值的a32法

一、引言

实矩阵的特征值问题在科学计算和工程问题中经常用到，物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求实矩阵的特征值问题。它表面看来是一个简单的非线性方程组问题Ax=λx（x≠0），其中x是实矩阵A对应于特征值λ的特征向量，对于λ的求解，一个最简单的想法是求解方程det（λE-A）=0，当实矩阵的阶数为2阶时，我们可以直接用韦达定理求解一元二次方程，而得到A的特征值；但当n≥3时，求解方程det（λE-A）=0几乎是不可能的，因而只能通过数值分析方法求得根的近似值。

这里我们仅对n=3的情况讨论。当n=3时，即求下面代数方程的根的问题，其中a，b，c，d是常系数。 f（λ）=det（λE3×3-A3×3） =aλ3+bλ2+cλ+d（*）

（*）式的求解通常的方法有两种，第一种方法是采用因式分解法，将三次多项式拆成一次因式与二次因式的乘积，但一次因式难以确定，此方法的可行性也不大；第二种方法是一元三次方程的求根公式法，传统的有卡当公式，但此方法解题比较复杂，缺乏直观理性。还可以用三次方程求根最新解法――盛金公式法，范盛金推导出一套直接用a，b，c，d表达的较简明形式的

一元三次方程的一般新求解公式，并建立了判别法，但这种方法大家不是很熟悉。 二、a32法

基于引言讨论方法的种种弊端，本文引入一种较为简洁的方法――a32法，此方法简单明了，对于三阶实矩阵与三阶实对称矩阵均适用。本方法具体如下： 对于三阶实矩阵A3×3=a111a121a13 a211a221a23

a311a321a33，在求A的特征值时，即： λE-A3×3= λ-a111-a121-a13 -a211λ-a221-a23 -a311-a321λ-a33=0

首先通过初等行变换用第一行乘以-a321a12加到第三行，把a32变成0，然后按第一行展开成三项；第二项是a12乘以一个二阶方阵的行列式形式，第一项与第二项的主对角线元素乘积提公因式，第三项与第二项的副对角线元素乘积提公因式，最后再从提完公因式的两个多项式中提公因式（如果有的话；若没有，则采用通常的方法），直到化成三个一次多项式乘积形式，即可分别求出三个特征值。 例1.求矩阵A=5161-3 -11011

11211的特征值。 解：λE-A =λ-51-613 11λ-01-1 -11-21λ-1 =--11-21λ-1 11λ1-1 λ-51-613 =--11-21λ-1 11λ1-1 λ-21016-3λ

=λ（6-3λ）+2×（-1）11-1 λ-216-3λ+（λ-1）λ（λ-2）

=（6-3λ）（λ-2）+（λ-2）[（λ-1）λ-2] =（λ-2）（6-3λ+λ2-λ-2） =（λ-2）（λ2-4λ+4） =（λ-2）3 =0.

则：λ1=λ2=λ3=2. 例2.求矩阵B=61-211 201-714

201-815的特征值。