五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在(有限)，

x?ax???那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、(15分)设

???af(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，而且，对于每个固定的y?[c,d]，f(x,y)

关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于y?[c,d]一致地收敛于0.

2004年华南师范大学数学分析

1.(12分)设an?(1?),n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。

n1n

1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x? x?0?0,

[2?(?1)n]n13.(12分)求幂级数?(x?)n的收敛半径和收敛域。

n2n?1?

4.(12分)求函数f(x)?????x?0?1, 的Fourier级数，并由此求数列级数：

0?x???0, 1111?????(?1)n??的和。

352n?1

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

f?(?)(b?a)。

lnb?lna

6.(15分)Br(M0)是以M0?(x0,y0,z0)为心，r为半径的球，?Br(M0)是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：

df(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS

drBr???(M0)?Br(M0)

2005年华南师范大学数学分析

一、计算题（4*8=32分）

cos(sinx)?cosx1.求lim. 3x?0sinx2.求?sec3xdx.

x2y23.求lim.

(x,y)?(0,0)x2?y24.求?

xdy?ydx222L：x?(y?1)?R,0?R?1,取逆时针方向。 .其中

L4x2?y2

二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对?a,b?R,ea?b2

?1a(e?eb)； 22.设liman?0，证明：limn??a1?a2???an?0；

n??n

3.设f(x)在(0,1)上连续，lim?f(x)?lim?f(x)???，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.

x?0x?1

三、讨论题（2*8=16分）

111111.讨论级数1?1?1?1?1?1???23324352631(2n?1)12?1(2n)13??的敛散性。

2.设??0,??0，讨论???0sinx?dx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 ?x