第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

第二章 质点运动学

一、基本知识小结

⒈基本概念 r??r??(t)v??dra??dv?d2r?dtdt?dt2

r?(t)?v?(t)?a?(t)

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t?t??0,r?r0,v??v?0）

⒉直角坐标系 r??xi??y?j?zk?,r?x2?y2?z2,r?与x,y,z

轴夹角的余弦分别为 x/r,y/r,z/r.

v??vxi??vj?v?,v?v2x?v2y?v2?y?zkz,v与x,y,z轴夹角的余弦分别为 vx/v,vy/v,vz/v.

a??axi??a?j?azk?,a?a2x?a2?yy?a2z,a与x,y,z轴夹角的余弦分别为 ax/a,ay/a,az/a.

vdxdydzx?dt,vy?dt,vz?dtadvd2xdvyd2ydvd2z x?xdt?dt2,ay?dt?dt2,az?zdt?dt2(x,y,z)?(vx,vy,vz)?(ax,ay,az)

⒊自然坐标系 r??r?(s);v??v???,vds??dt,v?|v?| a??a22dv?d2sv2????ann?,a?a??an,a??dt?dt2,an?? s(t)?v?(t)?a?(t)

⒋极坐标系 r??rr?,v??vrr??v???,v?v2r?v2? vr?drdt,vd???rdt ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

r??r?'?r?0,t?t' （时空变换） v??v?'?v?0 （速度变换）

a??a?'?a?0 （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：

y y'

V

x'?x?Vt,y'?y,z'?z,t'?t

vx'?vx?V,vy'?vy,vz'?vz

o x o' x' ax'?ax,ay'?ay,az'?az z z'

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二、思考题解答

2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？

解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？

解答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3―瞬时速度就是很短时间内的平均速度‖这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？

解答：―瞬时速度就是很短时间内的平均速度‖这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t时刻的

瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度

??r/?t，当△t→0时的极???rd?r限，即

v?lim?t?0?t?dt。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到

很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 解答：

ax?lim?vxdvx?t?0?t?dt,加速度与速度同号时，就是说

vx?0,ax?0或vx?0,ax?0,以vx?0,ax?0为例，速度为正表示速度

的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，

t??t时刻的速度大于t时刻的速度，质点作加速运动。同理可说明

vx?0,ax?0,质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为

v0x，加速度为ax?6?t，速度为

vv?tv1x?0x?0(6?t)dt?0?6t?2t2，

t?6时，ax?0,vx?0,速度逐渐增加。 2.5设质点直线运动时瞬时加速度ax?常量，试证明在任意相等的

时间间隔内的平均加速度相等。 解答：平均加速度ax?vx2?vx1t2?t1

由瞬时加速度

advx2x?dt,dvavx2tx?xdt,?vx1dvx??t1axdt, vx2?vx1得，

ax?t2?t1，a?常量，即a?vx1x?vx2xt2?t1为常量。

2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 解答：有关。

例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。

2.7中学时曾学过

v?12t?v0?at,s?v0t2at2,v2t?v0?2as，这几个匀变速直线运动的公式，你能否指出在怎样的初始条件下，

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可得出这几个公式。 解答：t?0,v?v0,s?0

2.8试画出匀变速直线运动公式（2.3.7）和（2.3.9）的vx?t图和

ax?t图。

x?xv120?0xt?2axt,......(2.3.7)v2x?v20x?2ax(x?x0),......(2.3.9) 解答：（1）vdxx?dt?v0x?axt av22x?v0x （2）

x?tg??2(x?x0)

2.9对于抛体运动，就发射角为

0????; ??0,?; ????2这几种

情况说明它们各代表何种运动。

解答：①下斜抛；②平抛；③竖直上下抛。

2.10抛体运动的轨迹如图所示，试在

图中用矢量表示它在A、B、C、D、E各点处的速度和加速度。 解答：

2.11质点作上斜抛运动时，在何处的速率最大，在何处的速率最小？

vx?v0cos?,vy?v0sin??gt,解答：v?v20?g2t2?2v0gsin?t

t?v0sin?求极值，

g时，有极小值，

即最高点处速率最小。（O、A处速率最大）

2.12试画出斜抛运动的速率—时间曲线。

解答：

v?v20?g2t2?2v0gsin?t

2.13在利用自然坐标研究曲线运动时，

vv和??、v三个符号的含义有什么不同？

解答：

v?为速度在切线单

?位矢量的投影v?v???，它不同于速率v，v?有正

负，v??v。?v表示的是

速度，沿切线方向，有大小

和方向。

2.14质点沿圆周运动，自A点起，从静止开始作加速运动，经B点到C点；从C点开始作匀速圆周运动，经D点直到E点；自E点以后作减速运动，经F点又到A点时速度变成零。用矢量表示出质点

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在A、B、C、D、E、F各点的法向加速度和切向加速度的方向。 解答：

2.15什么是伽利略变换？它所包含的时空观有何特点？ 解答：①伽利略变换

x??x?vt,y??y,z??z;v?x?vx?v,v?y?vy,v?z?vz;

②时空观特点

同时性；等时性；等长性。 相对论中的洛伦兹变换：

x??x?vtt?v1??2,y??y,z??z,t??c2x1??2,

??v/c,当??0该变换回到伽利略变换。

时空观特点

同时的相对性；运动的杆缩短；运动的时钟变慢。

三、习题解答

2.1.1质点运动学方程为：⑴r??(3?2t)i??5?j ⑵r??(2?3t)i??(4t?1)?j,求质点轨迹并用图表示.

解：⑴x?3?2t,y?5,轨迹方程为y?5的直线.

⑵x?2?3t,y?4t?1，消去参数t得轨迹方程4x?3y?5?0

y 5 5/3 y 5/4

x

x

2.1.2 质点运动学方程为r??e?2ti??e2t?j?2k?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：x?e?2t,y?e2t,z?2,xy?1，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵?r??r?(1)?r?(?1)?(e?2?e2)i??(e2?e?2)?j ??7.2537i??7.2537?j。所以，位移大小：

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|?r?|?(?x)2?(?y)2?(?7.2537)2?7.25372?7.25372,与x轴夹角??arccos?x|?r?|?arccos(?22)?135?

与y轴夹角??arccos?y|?r?|?arccos(22)?45?与z轴夹角??arccos?z|?r?|?arccos0?90?

2.1.3质点运动学方程为r??4t2i??(2t?3)?j. ⑴求质点轨迹；

⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴x?4t2,y?2t?3，消去参数t得：x?(y?3)2

⑵?r??r?(1)?r?(0)?4i??5?j?3?j?4i??2?j

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1?4100m,?1?33.7?

0.75s后测得R2?4240m,?2?29.3?，R1,R2均R 在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方

向（α角）

θ 解：v??v??R???2?R1?t??R?t，在图示的矢量θR1 ΔRα 1 三角形中，应用余弦定理，可求得：

θR2 2 θ1

?R?R221?R2?2R1R2cos(?1??2)?41002?42402?2?4100?4200cos4.4? ?349.58mv?v??R/?t?349.58/0.75?465.8m/s

据正弦定理：?R/sin(?1??2)?R2/sin(180???1??)

sin(180???1??)?R2sin(?1??2)/?R?4240sin4.4?/349.58?0.931,180???1???111.41?,???34.89?

2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在y x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

?解：由于Δt很小，所以，v??v???rx ?t，

0 x1 x2 其中，?t?2ms,?r???xi???y?j,?x?x2?x1?234?249??15

?y?y222?y1?(x2?x1)/200?(2342?2492)/200??36.2

?v??(?x/?t)i??(?y/?t)?j??7.5i??18.1?j。其大小

|v?|?(?7.5)2?(18.1)2?19.6mm/ms；与x轴夹角

??arccosvxv?arccos?7.519.6?arccos(?0.38265)??112.5?

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