第2章 质点运动学 第2章 质点运动学
2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.
解：声音传播情况如图所示，
北京人听到演奏声音所需时间：
17m t/340?0.05s
340m/s 1?178广州人听到演奏声音所需时间：
2320km,3×10m/s t2320?1032340m/s 2?3.0?108?340?0.0136s 2m
2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，
3min后以70km/h速率向北偏西30°方北 30°向行驶，求列车的平均加速度。 v2 ??
解：a??v?v?21?v?t??t vv1=90km/h α Δ v2=70km/h 对矢量三角形应用余弦定理：
西
?v?v221?v2?2v1v2cos30??902?702?90?703?45.69km/h?12.69m/s
a??v?12.69v?v60?0.07m/s2?t3?，由正弦定理：2sin??sin30?
sin??v2sin30?/?v?70?0.5/45.69?0.766,??50?
2.2.6 ⑴r??Rcosti??Rsint?j?2tk?，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵r??3ti??4.5t2?j?6t3k?，求t=0,1时的速度
和加速度（写出正交分解式）。
解：⑴v??dr?/dt??Rsinti??Rcost?j?2k? a??dv?/dt??Rcosti??Rsint?j.?v?|t?0?R?j?2k?,a?|t?0??Ri?,v?|t??/2??Ri??2k?,a?|t??/2??R?j ⑵v??dr?/dt?3i??9t?j?18t2k?,a??dv?/dt??9?j?36tk?； v?|?3i?|?t?0?,at?0??9?j,v|t?1?3i??9?j?18k?,a?|t?1??9?j?36k?
a x(m) 2.3.1图中a、b和c表示质点沿直b 线运动三种不同情况下的x-t图像，试20 说明每种运动的特点（即速度，计时起10 30° c 120° 点时质点的位置坐标，质点位于坐标原20 45° 点的时刻）
0 -10 10 30 t(s) 解：质点直线运动的速度 -20 v?dx/dt，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度v?tg???x/?t
对于a种运动：
v?tg120???3m/s,x|t?0?20m,t|x?0?20tg30??11.55s
对于b种运动：
v?tg30??3/3ms?1,x|t?0?10m,t|x?0??10/tg30???17.32s对于c种运动：
v?tg45??1ms?1,t|x?0?25s,x|t?0??25tg45???25m
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2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）
解：x?acost,vx?dx/dt??asint,ax?dvx/dt??acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：
?a?x?a,?a?vx?a,?a?ax?a
2.3.3跳伞运动员的速度为v??1?e?qt1?e?qt，v铅直向下，β,q为
正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。
解：
dvd1?e?qta?dt??dt(1?e?qt) ??(1?e?qt)qe?qt?(1?e?qtt)(?qe?qt)2?qe?qt(1?e?qt)2?(1?e?qt)2因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，
v→β，a→0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。
2.3.4 直线运行的高速列车在vv(km/h) 0 v=v0cosπx/5 电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速x(km)
率变化规律如图所示。求列车行至1.5 x=1.5km时的加速度。
解：v?v0cos(?x/5),dv/dx????5v0sin5x.
a?dv?dx?vdv122dxdtdx??10?v0sin5?x，将v0=180km/h,x=1.5km代入 a??110?3.14?1802?sin108???9676km/h2??0.75m/s2
2.3.5在水平桌面上放置A、B两
物体，用一根不可伸长的绳索按图示 aA 的装置把它们连接起来，C点与桌面
B A 0.5g 固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，0 x 求物体B的加速度。
解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L 对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/8
2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. ⑴将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？
解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v
⑵将计时起点前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a不变。
2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。
vt解：dvx?axdt?2tdt,x?dv2?tdt,v2x?x?v0?t
v0013
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xttdx?v3xdt?(v0?t2)dt,?dx?v0?dt??t2dt,x?v0t?13t 000⑴v0?0时，vx?t2,x?13123t;x(6)?3?6?72cm ?x?x(6)?x(0)?72m路程S??x?72cm
⑵v0??9时，vx?t2?9,x?133t?9t ?x?x(6)?x(0)?18cm
令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：
S?|x(3)?x(0)|?|x(6)?x(3)|?x(6)?2x(3)?18?2(13?33?9?3)?18?36?54cm
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。
x5解：dx?vxdt??3sintdt,5x?dx??3?sintdt
33?x?x5?x3?3(cos5?cos3)?3.82m
2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为
ax= -Aω2cosωt.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。
解：ax?dvx/dt??A?2cos?t,dv2x??A?cos?tdt，
?vxtt0dvx??A?2?0cos?tdt??A??0cos?td(?t)vx??A?sin?t?dx/dt,dx??A?sin?tdt?xttAdx??A??0sin?tdt??A?0sin?td(?t)
x?A?Acos?t|t0?A(cos?t?1),x?Acos?t
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
vxt解：dv22x?axdt??bvxdt,?v?xdvx??b?dt,?v?1x|vxv0??bt
v0011?v0btvv?1??bt,1?1?bt,,v0x? 0vxvxv0v01?v0btdx?vv0dtxtv0dt1td(1?v0bt)xdt?1?vbt,?dx?0??01?v0btb?,001?v0bt x?1bln(1?v0bt)
2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？
解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。
两人的加速度实际上是相同的：a1?a2??0.2m/s2
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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学
初始条件：t?0时，x1?x10?0,x2?x20?195v1?v10?18km/h?5m/s,v2?v20??5.4km/h??1.5m/s
根据匀变速直线运动公式：
vv20 x
10 x221?v10t?12a1t?5t?0.1ta195 2 x2a0 1
22?195?v20t?12a2t?195?1.5t?0.1t
⑴令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s
⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：
S1?|x1(25)?x1(0)|?|x1(30)?x1(25)|?2x1(25)?x1(30)?2(5?25?0.1?252)?(5?30?0.1?302)?65m
对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：
S2?|x2(30)?x2(0)|?x2(0)?x2(30)?195?60?135m
2.4.6站台上送行的人， 2 1 在火车开动时站在第一节车
厢的最前面，火车开动后经过0 x Δt=24s，火车第一节车厢的末
尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。
解：设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：
x?12，令x=L，求得：a?2L2L22at(?t)2?242，∴x?Lt/242 令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：
6L?Lt2/242,t2?6?242,t?t6?246
令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：
7L?Lt2/242,t2?7?242,t?t7?247
因此，第7节车厢通过人所需时间：
?t?t7?t6?24(7?6)?4.71s
2.4.7 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0
上抛二石子，但在高处的石子早ty 0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？
解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，
h 设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下0 面石子坐标y2=0，v2=v0
解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知
y?h?v210t?12gt⑴y?v?t?t220(t0)?12g(t0)⑵令y21?y2,有h?v0t?1122gt?v0(t?t0)?2g(t?t0)求得相遇时间t?h?v0?t0gt，代入⑴或⑵中，可求得 0g2相遇时石子坐标y?12[h?v20g?h2gt2?1gt20]04解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分
得到⑴、⑵，然后求解。
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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学
2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：h?122gt，可求得从最高出落到
地板所需时间：t?2g/h?2?9.8/0.5?0.32s，所以小孩做
竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：
L = 1.0×0.64 = 0.64 m
2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为a???costi??sint?j，位置和速度的初始条件为：t=0时，v???j,r??i?，求质点的运动学方程并画出轨迹。
解：
????vttdv?adt?(?costi?sint?j)dt,?dv???i??costdt??j?sintdt?j00v???j?sinti??(cost?1)?j??sinti??cost?j?rtt
dr??v?dt?(?sinti??cost?j)dt,?dr???i??i?sintdt??j0?costdt?0r?i??(cost?1)i??sint?j?costi??sint?j?x?cost,y?sinty x2?y2?1
x
2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30o、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最
高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。
解：以A点为原点建立
图示坐标系，取发射时刻为
Y vAO 计时起点，两点间距离为S，
vBO 初始条件如图所示。
30o 60o 据斜抛规律有：
A S B x xA?vAOcos30?t⑴xB?vBOcos60?t?S⑵vAy?vAOsin30??gt⑶v
By?vBOsin60??gt⑷满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB
令⑶,⑷?0,t?vAOsin30?/g⑸,vBO?vAOsin30?/sin60?⑹令⑴?⑵，得S?(vAOcos30??vBOcos60?)t⑺
2把⑸,⑹代入⑺中得：S?vAO2g(cos30??0.5ctg60?)?2.83m
2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.
解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，y 斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：
v0 A y?xtg??gx2 30° 2v22 x
0cos?60°本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： yA?xAtg60??g22v2x22gA?3xA?2xA ①
0cos260?v0另外，根据图中几何关系，可知：x3A?OAcos30??2OA
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