第12讲 导数与函数的极值、最值
1．函数f(x)＝xe，x∈[0，4]的最大值为________． 解析：f′(x)＝e－x·e＝e(1－x)， 令f′(x)＝0，得x＝1.
41－1
又f(0)＝0，f(4)＝4，f(1)＝e＝，所以f(1)为最大值．
ee1
答案： e
2．函数f(x)＝(2x－x)e的极大值为________． 解析：f′(x)＝(2－2x)e＋(2x－x)e＝(2－x)e， 由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 由f′(x)<0，得x<－2或x>2. 由f′(x)>0，得－2 所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数，在(－2，2)上是增函数． 所以f(x)极大值＝f(2)＝(22－2)e答案：(22－2)e 2 2 2 －x－x－x－xxx2x2x. 3 3．已知函数f(x)＝x－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x－3a＝3(x－a)， 显然a>0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)， 由已知条件0 4．设a∈R，若函数f(x)＝e＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝e＋a＝0，则e＝－a，x＝ln(－a)． 因为函数f(x)有大于零的极值点，所以ln(－a)＞0， 所以－a>1，即a<－1. 答案：(－∞，－1) 5．若函数f(x)＝ xxx2 2 x2 x＋a (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 3 ，则a的值为________． 3 x2＋a－2x2a－x2 解析：f′(x)＝22＝22， （x＋a）（x＋a） 当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当－a 6．设函数f(x)＝x－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的 2取值范围为________． 解析：f′(x)＝3x－x－2，令f′(x)＝0，得3x－x－2＝0， 2 解得x＝1或x＝－， 3 7?2?15711 又f(1)＝，f?－?＝，f(－1)＝，f(2)＝7， 2?3?27277 故f(x)min＝，所以a<. 227??答案：?－∞，? 2?? 12 7．若函数f(x)＝x－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值， 2则实数a的取值范围是________． 2 2 3 a33 ＝，a＝<1，不合题意． 2a32 13 ＝，a＝3－1. 1＋a3 x2 ?1??1?4?x＋??x－?11?2??2? 解析：根据题意，f′(x)＝2x－＝，所以函数有一个极值点，所以有 2x2x2 a－1≥0，??3?1，3?. 解得1≤a<，所以实数a的取值范围是??2?1 2??a－1< ?3?答案：?1，? ?2? 8．(2019·苏锡常镇四市调研)若函数f(x)＝x－e－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的最大值为________． 解析：因为f(x)＝x－e－ax，所以f′(x)＝2x－e－a，由题意f′(x)＝2x－e－a≥0有解，即a≤－e＋2x有解，令g(x)＝－e＋2x，g′(x)＝－e＋2＝0，x＝ln 2， xxx2 2 xxxxg′(x)＝－ex＋2>0，即x 所以，当x＝ln 2，g(x)取得最大值2ln 2－2， 所以a≤2ln 2－2. 答案：2ln 2－2 9．若函数f(x)＝xln x－x－x＋1有两个极值点，则a的取值范围为________． 2解析：因为f(x)＝xln x－x－x＋1(x>0)， 21 所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0， a2 a2 x1 得一阶导函数有极大值点x＝， a由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞， 因此原函数要有两个极值点， 1?1?只要f′??＝ln－1>0， ?a? a1 解得0 e ?1?答案：?0，? ?e? 10．已知函数f(x)＝x－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－ 3 f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________． 解析：因为f′(x)＝3x－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3，2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而 2 t≥20，所以t的最小值是20. 答案：20 11．(2019·南通模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x＋ax－3)e(a为实数)． (1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程； (2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值． 解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x＋5x－3)·e， 2 2 xxg(1)＝e， 所以g′(x)＝(－x＋3x＋2)·e， 故切线的斜率为g′(1)＝4e. 所以切线的方程为y－e＝4e(x－1)， 即y＝4ex－3e. (2)f′(x)＝ln x＋1. 2 xx，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：