A、该方程组不一定存在最小二乘解

B、该方程组的最小二乘解是方程组AAx?Ab的解

C、若rank(A)?n，则其唯一的最小二乘解为x?(AA)Ab D、若rank(A)?n，则其唯一的最小二乘解为x?Ab

是非题

1. 易(1分)利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的

类型。 ( ) 2. 易(1分)已知观察值(xi,yi) (i?0,1,2,...,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n次 填空题

1. 易(1分)线性代数方程组Ax?b相容的充要条件是（ ）。

2. 中下 (1分)拟合三点A(0,2),B(1,4),C(2,6)的平行于x轴的直线是（ ）。 3. 易(1分)2阶的Givens变换矩阵G=（ ）。

4. 中(1分)设u?R，则由此向量构造的Householder变换矩阵为（ ）。 5. 中下(1分)设矩阵A?Rm?n的秩为r，且存在满秩分解A?FG，则其Moore?Penrose广义逆矩阵A?（ ）。

6. 中(4分)设有实验数据如下： x 0 1 2 3 5 ?n?T?1TTTf 1.1 1.9 3.1 3.9 4.9 要求按最小二乘法拟合上述数据。试问：

（1）求最小二乘拟合曲线可分为两个主要步骤：一是，（ ）；二是，（ ）。 （2）设要求上述数据的一次多项式拟合S(x)?a0?a1x，则可算得法方程为（ ）。 （3）解法方程，可得一次拟合多项式为S*(x)?（ ）。 7. 易(1分)用形如y?x的非线性拟合数据(xi,yi)做变换（ ）后为线性拟合ax?by?a?bx。

8. 中下(1分)已知(xi,yi) (i?0,1,2,...,30)，其线性拟合的正规方程组为（ ）。 9. 中(2分)已知下列数据

xi yi －1 1 20 0 1 1 2 0 利用最小二乘法确定经验公式y?ax?bx中的参数a和b，则a=（ ），b=（ ）。

10. 易(1分)过n对不同数据?xi,yi?,i?1,2,···,n，的拟合直线y?a1x?a0，那么a1,a0满足的法方程组

是 。

简答题

1. 易 (10分)用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式，使它拟合下列数据，并

计算均方误差. 2xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 2. 易 (10分)设有某实验数据如下：

x 1.36 1.73 1.95 2.28 y 14.094 16.844 18.475 20.963 试按最小二乘法求一次多项式拟合以上数据。易 (10分)用最小二乘法求形如y?a?bx的经验公式，使它拟合以下数据。 2xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 3. 易(10分)试用最小二乘法根据以下数据表 xi yi bx1.00 5.10 1.25 5.79 1.50 6.53 1.75 7.45 2.00 8.46 求y?ae的最小二乘拟合曲线。

??t4. 中 (10分)某发射源的发射强度公式为I?I0e，现测得I与t的一组数据如下表

ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 试用最小二乘法根据以上数据确定参数I0和?值。 5. 易 (10分)已知数据表 xi yi 1 3 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 6 8 7 求拟合这些数据的直线方程。 6. 易 (10分)已知数据表 xi yi 0 1.00 1 3.85 2 6.50 3 9.35 4 12.05

求拟合这些数据的直线方程。 7. 易(10分)已知下列实验数据 xi f(xi) 1.36 16.844 1.95 17.378 2.16 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据. 8. 易(10分)已知一组试验数据如下 xi fi 1 2 3 4 5 4 4.5 6 8 8.5 求它的拟合曲线（直线）。 9. 中下 (10分)已知数据如下： xi yi 求形如y?1.0 0.931 1.4 0.473 1.8 0.297 2.2 0.224 2.6 0.168 1拟合函数。 a?bxxi f(xi) 10. 中下(10分)已知 -2 4 -1 2 0 1 1 3 2 5 求f(x)的二次拟合曲线P2(x)，并求f?(0)的近似值。

11. 易(8分)根据下列表格给出的数据，求其形如s(x)?a?bx的最小二乘拟合曲线。

xk -2 -1 0 1 2 yk -3.1 -0.9 1.0 3.1 4.9 12. 易(10分)给定数据表 x y -2 -0.1 -1 0.1 0 0.4 1 0.9 2 1.6 试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据. 13. 易(10分)已知函数表 x f(x) ?1?3102 4 （1）给出Lagrange二次插值多项式，并求f(0)的近似值；

（2）给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(0)的近似值； （3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求f(0)的近似值。 中(10分)利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别

1. 给出Lagrange二次插值多项式，并求f(3.5)的近似值； （3分） 2. 给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(3.5)的近似值； （5分） 3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求f(3.5)的近似值。 （7分） 14. 中下(10分)某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下： 学期（x） 1 2 3 4 63.2 70.5 76.6 78.4 试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级

各个学期的平均成绩，将表格填完整。

是非题

1. 易 (1分)已知观察值(xi,yi)(i?0,1,2,L,m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

2. 易 (1分)x是超定方程组Ax?b的最小二乘解的充分必要条件是x是方程组

?? 平均成绩（y） AATx?Ab的解。 ( ).

3. 易(1分)已知观察值?xi,yi?(i?1,2,…,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数

为小于n。

3.4 正交多项式 填空题

?1. 易(2分) 设{?k(x)}k?0是区间［0,1］上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交

多项式序列，其中?n(x)?1，则2. 易 (2分)[0,1]上以?(x)?ln（ ）。

简答题

1. 易(10分)令sn(x)??10x?k(x)dx ＝( )，?2(x)＝( )

1权函数的正交多项式?0?x??（ ），?1?x??x1试求sn的表达Tn??1(x),n?0,sn称为第二类Chebyshev多项式，

n?1式，并证明(sn)是［-1,1］上带权?(x)?1?x2的正交多项式序列. 2. 中下(10分)判断?0(x)?1,?1(x)?x,?2(x)?x?21，在[?1,1]上带权?(x)?1正交，并3求?3(x)使其在[?1,1]上带权?(x)?1与?0(x),?1(x),?2(x)正交。

3. 中(10分)设?0(x),?1(x),L,?n?1(x),K是区间[0,1]上带权?(x)?x的最高项系数为1

的正交多项式序列，其中?0(x)?1，求

?10x?k(x)dx及?1(x)和?2(x)。

4. 难(10分)利用Crarn-Schmidt正交化方法求[0,1]上带权?(x)??lnx的前三个正交多项

式P0(x),P1(x),P2(x)。

5. 难(1分)用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求f(x)?sin?x在［0，1］上的二次最

佳平方逼近多项式。

证明题 1.

易(10分)证明区间[a,b]上带权?(x)的正交多项式Pn(x)n?1,2,3…的n个根都是单根，且位于区间(a,b)内。