圆的方程及求法

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳

1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：

标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 22圆心：(a，b)，半径：r DE圆心：－2，－2， 1半径：D2＋E2－4F 2一般方程 ()方法规律总结

1．待定系数法求圆的方程

(1) 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 2．几何法求圆的方程：

利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 直角三角形”等．

3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法

弦心距，弦长的一半构成

【指点迷津】

【类型一】确定圆的方程

【例1】：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

?a2?b2?r2?a?4??22由题意列出方程组??a?1???b?1??r2，解之得?b??3,

?r?5?2a?3b?1?0??∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

【例2】：已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．

【解析】：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为?－，－?.

?22?DE?(?6)2?6E?F?0?D＋E－10＝0?D＝6?由题意可得?12?(?5)2?D?5E?F?0,消去F得?，解得?，代入求得F＝－12，

D－E－2＝0E＝4???D?E?2?0?

所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 111

法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为?，－?，

2??2直线AB的斜率kAB＝

?5?(?6)＝1，

1?0111

因此线段AB的垂直平分线l的方程是y＋＝－?x－?，即x＋y＋5＝0.

2?2??x＋y＋5＝0?x＝－3

圆心C的坐标是方程组?的解，解得?，所以圆心C的坐标是(－3，－2)．

?x－y＋1＝0?y＝－2

22圆的半径长r＝|AC|＝(0?3)?(?6?2)＝5，

所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.

【类型二】与圆有关的轨迹问题

【例1】：已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解析】：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 答案：(1) (x－1)2＋y2＝1. (2) x2＋y2－x－y－1＝0.

【例2】：已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC中点M的轨迹方程．

【解析】：(1)设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 又kAC＝

yy

，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， x＋1x－3

yy

所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

x＋1x－3

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．

(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝y0＋0y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.

2

由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．

x0＋3

(x≠3且x≠1)，2

答案：(1) x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．(2) (x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．

例3．(2010·山东烟台调研)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )

A．y2－4x＋4y＋8＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0

B．y2＋2x－2y＋2＝0 D．y2－2x－y－1＝0

【解析】：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0. 答案：C.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一、选择题

1. 已知两点A(9，4)和B(3，6)，则以AB为直径的圆的方程为( )

A．(x－6)2＋(y－5)2＝10 C．(x－5)2＋(y－6)2＝10

B．(x＋6)2＋(y＋5)2＝10 D．(x＋5)2＋(y＋6)2＝10

【解析】：线段AB的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=1|AB|=10

2答案：A.

2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1

【解析】：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：B.

3. 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )

A．(－∞，－2)

B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)

D．(2，＋∞)

【解析】：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a＞2. 答案：D.

4. 方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )

A．a＜－2或a＞2

2

2

2

3B．－2 ＜a＜0

3 C．－2＜a＜0

D．－2＜a＜2

3【解析】：方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0

转化为(x+a)＋(y＋a)＝－3a－a＋1，所以若方程表示圆，则有－3a－a＋1＞0，

2

2

2

2

222

244∴3a＋4a－4＜0，∴－2＜a＜2 .

2

3答案：D.

5. 已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )

A．?x±?

3?224

＋y＝

33?

B．?x±?

3?221

＋y＝

33?