高三第一轮复习圆的方程及求法 下载本文

圆的方程及求法

【提纲挈领】(请阅读下面文字,并在关键词下面记着重号)

1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 主干知识归纳

1.圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2.圆的方程:

标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) x+y+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 22圆心:(a,b),半径:r DE圆心:-2,-2, 1半径:D2+E2-4F 2一般方程 ()方法规律总结

1.待定系数法求圆的方程

(1) 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;

(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.几何法求圆的方程:

利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径, 直角三角形”等.

3.求与圆有关的轨迹问题的四种方法

弦心距,弦长的一半构成

【指点迷津】

【类型一】确定圆的方程

【例1】:求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程 【解析】: 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

?a2?b2?r2?a?4??22由题意列出方程组??a?1???b?1??r2,解之得?b??3,

?r?5?2a?3b?1?0??∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 答案:(x-4)2+(y+3)2=25.

【例2】:已知圆心为C的圆经过点A(0,-6),B(1,-5),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆的标准方程.

【解析】:法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为?-,-?.

?22?DE?(?6)2?6E?F?0?D+E-10=0?D=6?由题意可得?12?(?5)2?D?5E?F?0,消去F得?,解得?,代入求得F=-12,

D-E-2=0E=4???D?E?2?0?

所以圆的方程为x2+y2+6x+4y-12=0,标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 111

法二:因为A(0,-6),B(1,-5),所以线段AB的中点D的坐标为?,-?,

2??2直线AB的斜率kAB=

?5?(?6)=1,

1?0111

因此线段AB的垂直平分线l的方程是y+=-?x-?,即x+y+5=0.

2?2??x+y+5=0?x=-3

圆心C的坐标是方程组?的解,解得?,所以圆心C的坐标是(-3,-2).

?x-y+1=0?y=-2

22圆的半径长r=|AC|=(0?3)?(?6?2)=5,

所以,圆心为C的圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 答案:(x+3)2+(y+2)2=25.

【类型二】与圆有关的轨迹问题

【例1】:已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.

【解析】:(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). 因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 答案:(1) (x-1)2+y2=1. (2) x2+y2-x-y-1=0.

【例2】:已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC中点M的轨迹方程.

【解析】:(1)设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1. 又kAC=

yy

,kBC=,且kAC·kBC=-1, x+1x-3

yy

所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.

x+1x-3

因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).

(2)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=y0+0y=,于是有x0=2x-3,y0=2y.

2

由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y2=1.

因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).

x0+3

(x≠3且x≠1),2

答案:(1) x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).(2) (x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).

例3.(2010·山东烟台调研)若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( )

A.y2-4x+4y+8=0 C.y2+4x-4y+8=0

B.y2+2x-2y+2=0 D.y2-2x-y-1=0

【解析】:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理即得y2+4x-4y+8=0. 答案:C.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一、选择题

1. 已知两点A(9,4)和B(3,6),则以AB为直径的圆的方程为( )

A.(x-6)2+(y-5)2=10 C.(x-5)2+(y-6)2=10

B.(x+6)2+(y+5)2=10 D.(x+5)2+(y+6)2=10

【解析】:线段AB的中点坐标(6,5)为圆心坐标,半径=1|AB|=10

2答案:A.

2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )

A.(x+2)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

【解析】:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y-1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 答案:B.

3. 若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( )

A.(-∞,-2)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(2,+∞)

【解析】:曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a>2. 答案:D.

4. 方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )

A.a<-2或a>2

2

2

2

3B.-2 <a<0

3 C.-2<a<0

D.-2<a<2

3【解析】:方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0

转化为(x+a)+(y+a)=-3a-a+1,所以若方程表示圆,则有-3a-a+1>0,

2

2

2

2

222

244∴3a+4a-4<0,∴-2<a<2 .

2

3答案:D.

5. 已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为( )

A.?x±?

3?224

+y=

33?

B.?x±?

3?221

+y=

33?