2019-2020学年中考数学专题复习讲义之综合题

综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点．综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力．在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新． （Ⅰ）方程型综合题 【简要分析】

方程是贯穿初中代数的一条知识主线．方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问题． 【典型考题例析】

例1：已知关x的一元二次方程 x2?3x?m?0有实数根． （1）求m的取值范围

2?11求m的值． （2）若两实数根分别为x1和x2，且x1?xx12?x2例２：已知关于x的方程(a?2)x2?2ax?a?0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y?x2?(2a?1)x?2a?5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．

（1） 求实数a的取值范围． 当x1?x2?22时，求a的值．

说明 运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系

数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．

例3： 如图2-4-18，?B?90，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=23，且AB的长是关于x的方程x?8x?k?0的两个实数根．

（1）求⊙O的半径．（2）求CD的长． 【提高训练1】

1．已知关于x的方程x?(k?1)x?2CDAEO图2-4-18B0212k?1?0的两根是一矩形两邻边的长．（1）k取何4值时，方程有两个实数根？（2）当矩形的对角线长为5时，求k的值．

2．已知关于x的方程x?2(m?1)x?m?2m?3?0的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k，使关于x的方程x?(k?m)x?k?m?5m?2?0的两个实数根x1、

2222x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

?y2?2x3．已知方程组?有两个不相等的实数解．（1）求k有取值范围．（2）若方程组的两

y?kx?1??x?x1?x?x2和?是否存在实数k，使x1?x1x2?x2?1？若存y?yy?y?1?2个实数解为?在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

4．如图2-4-19，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点，连结DE．（1）DE与半圆O相切吗？若不相切，请说明理由．（2）若AD、AB的长是方程x2?10x?24?0的个根，求直角边BC的长．

3【提高训练1答案】１．（1）k? （2）k?2 ２．存在，k??2或4

2CDAO图2-4-19EB３．（1）k?1 （2）满足条件的k存在，k??3 ４．（1）相切，证明略 （2）35 2（Ⅱ）函数型综合题 【简要分析】

中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．

【典型考题例析】

y例1：如图2-4-20，二次函数的图象与x轴交于A、B两

C点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称3点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求

一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．

说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．

例2 如图2-4-21，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象

2A-3-2-1OB123xyMDC与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，x5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB的面积．

图2-4-21说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平

面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．

例3 ：已知抛物线y??x2?(m?4)x?2m?4与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)，与y轴交于

图2-4-20AONB点C，且x1、x2满足条件x1?x2,x1?2x2?0

（1）求抛物线的角析式；

（2）能否找到直线y?kx?b与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积？求出k、b所满足的条件．

说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．

例4 已知：如图2-4-23，抛物线y?ax2?bx?c经过原点（0，0）和A（－1，5）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）

（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD?S?DON？请求出此时点P的坐标． 【提高训练2】

1．已知抛物线的解析式为y?x2?(2m?1)x?m?m，（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．（2）若此抛物线与直线y?x?3m?4的一个交点在y轴上，求m的值． 2．如图2-4-24，已知反比例函数y?POAyEMDNx图2-4-2112的图象与一次函数y?kx?4的图象相交于P、Qx两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式．（2）求△POQ的面积．

3．在以O这原点的平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c(a?0)与y轴交于点C（0，3）．与x轴正半轴交于A、B两点（B点在A点的右侧），抛物线的对称轴是x?2，且

2S?AOC?3．（1）求此抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ADBC的面积． 2f?x? = 2?x2４．OABC是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6（．1）如图2-4-25，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求所B′点的坐标．（2）求折痕CM所在直线的解析式．（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线

yCGBMxy?12x?m过点G，求抛物线的解析式，交判断以原点O6OB'A为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标．

图2-4-25