1.6.2 导数与不等式问题
一、选择题
132
1.已知函数f(x)=x+ax+3x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
3A.(3,+∞) C.(-3,3)
解析:f′(x)=x+2ax+3,
由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4a-12>0,解得a>3或a<-3.选D. 答案:D
132
2.已知函数f(x)=x-2x+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值
3范围是( ) A.?
2
2
B.(-∞,-3)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
?17,+∞?
?
?9?
2
B.?
?17,+∞?
?
?9?
C.(-∞,2] D.(-∞,2)
解析:f′(x)=x-4x,由f′(x)<0,得0
∴f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增, ∴当x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4).
17
∴要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解得m≥.选A.
9答案:A
3.(2019·潍坊期中)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则它的导函数y=f′(x)的图象可以是( )
解析:根据题意,由f(x)的图象分析可得,在y轴左侧,函数f(x)先减再增,最后减,其导数对应为先负后正,最后为负,即导数图象先在x轴下方,后在x轴上方,最后在x轴下方;在y轴右侧,函数f(x)为增函数,其导数对应为正,即导数图象在x轴上方,据此分析选项,D符合. 答案:D
4.函数f(x)=x-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( ) A.[0,1)
B.(-1,1) D.(0,1)
2
2
3
?1?C.?0,? ?2?
解析:f′(x)=3x-3a=3(x-a). 当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值. 当a>0时,f′(x)=3(x-a)(x+a).
当x∈(-∞,-a)和(a,+∞)时,f(x)单调递增; 当x∈(-a,a)时,f(x)单调递减.
所以当a<1,即0 5.若f(x)的定义域为R,f′(x)>2恒成立,f(-1)=2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) C.(-∞,-1) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2恒成立,所以F′(x)=f′(x)-2>0,即函数F(x)在R上单调递增.因为f(-1)=2,所以F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0.所以由F(x)=f(x)-2x-4>0,得F(x)=f(x)-2x-4>F(-1), 所以x>-1,即不等式f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).选B. 答案:B 6.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意的0 解析:因为xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, 所以? B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a) ?f?x??′=xf′?x?-f?x?≤-2f?x?≤0, ?x2x2?x? f?x? 在(0,+∞)上单调递减. xf?a?f?b? ≥,即af(b)≤bf(a).选A. ab则函数 由于0 7.当x∈[-2,1]时,不等式ax-x+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,-3] C.[-6,-2] 9??B.?-6,-? 8?? D.[-4,-3] 32 ?1?3?1?21 解析:当x∈(0,1]时,得a≥-3??-4??+, ?x? ?x? x132 令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t-4t+t. x令g(t)=-3t-4t+t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t-8t+1=-(t+1)·(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-2. 由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也成立, 故实数a的取值范围为[-6,-2].选C. 答案:C 8.(2019·蚌埠三模)已知函数f(x)=x+.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线,则 2x322 aa的取值范围是( ) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)