浙江省嘉兴一中

2014—2015学年度上学期期末考试

高二数学理试题

满分[ 100]分 ，时间[120]分钟 2015年2月

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为 （ ） A．1 B.2 C.3 D．2 2.命题“若，则”的否命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则

3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 4. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D．

5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是 （ ） πππ3πA. B. C. D. 6434

7.如图，在正方形内作内切圆，将正方形、圆绕对角线旋转一周得到的两个

A旋转体的体积依次记为，，则（ ）

A. B. C. D.

8．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面

BDO直线；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

C④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直

AA第7题 的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（ ）

A．②和④ B．②和③ C．③和④ D．①和② BB9．在棱长为的正方体内有一四面体，其中分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体的体积为（ ）

DA． B． CDC侧视图 正视图 C． D．

C10.设点分别在直线和上运动，线段的中点恒在直线上或A者其右上方区域。则直线斜率的取值范围是（ ）

A． B． C． D． 第9题 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

11.已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________． BD

俯视图 12.直线经过,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的

直线方程为 ．

13. 若“x2>1”是“x

xy

14.已知点F1、F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆

ab

交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是_________．

22

?x?2y?4?0,?15. 当实数x,y满足?x?y?1?0,时，

?x?1?恒成立，则实数的取值范围是 ．

16. 如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围为 .

17．如图，已知边长为2的正△，顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面上的投影，设，直线与平面所成的角为．若△是以为直角的直角三角形，则的范围为_______．

三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分8分）已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假． 19. （本小题满分8分）已知三角形中，．（1）求点的轨迹方程；（2）求三角形的面积的最大值． 20. （本小题满分10分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．

21. （本小题满分12分）已知直线的方程为，，点的坐标为． （1）求点到直线的距离的最大值；

（2）设点在直线上的射影为点，的坐标为，求线段长的取值范围．

22. （本小题满分11分）如图，已知边长为4的菱形中，，.

第20题

将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为.

（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

嘉兴市第一中学2014学年第一学期期末考试 高二数学（理科） 参考答案及评分标准

命题人：沈新权 审核人:刘舸、王英姿

一、选择题 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 B 7 D 8 A 9 D 10 B 二、填空题

11. 12.或 13. 14. 15. 16.或 17.

三、解答题

18.解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．

逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，

1

∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．

4

解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0， ∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．

又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真． 19. 解：（1）以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，由，得，即为点的轨迹方程，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．

（2）由于，所以，因为，所以，所以，即三角形的面积的最大值为. 20. 解：（1）取中点，连结．为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面． （2）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又， ?sin∠AFG?AG?2?10．

AF454521. 解：（1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为．设点在直线上的射影为点，则，当且仅当直线与垂直时，等号成立，所以点到直线的距离的最大值即为线段的长度为．

（3）因为直线绕着点旋转，所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点，半径为，因为的坐标为，所以，从而．