专题复习(九) 函数的图象与性质
类型1 一次函数与反比例函数的图象综合题
1．(2016·合肥瑶海区模拟)已知A(1，m)，B(n，1)，直线l过A，B两点，其解析式为y＝－x＋b. (1)当b＝5时，求m，n的值；
k2
(2)在(1)的条件下，若此时双曲线y＝(x>0)也过A，B两点，求关于x的方程x－bx＋k＝0的解．
x解：(1)当b＝5时，y＝－x＋5；当x＝1时，y＝4；当y＝1时，x＝4，即m＝4，n＝4.
2
(2)根据题意，得k＝4，方程为x－5x＋4＝0，解得x1＝4，x2＝1.
k
2．(2016·安徽模拟)已知，如图所示，一次函数y＝x与反比例函数y1＝交于点C(3，n)，直线AB交y轴于点
xk
B(0，2)，交反比例函数y1＝于点A(m，3)，求：
x(1)直线AB的解析式y2＝ax＋b和k的值；
k
(2)在x>0范围内，结合图象求不等式ax＋b≥的解集．
x
解：(1)∵点C(3，n)在一次函数y＝x图象上，∴n＝3. ∴C(3，3)．
k
又∵反比例函数y1＝图象经过点C，∴k＝3.
x
k3
又∵A(m，3)在反比例函数y1＝图象上，∴3＝.∴m＝1.∴A(1，3)．
xm又∵直线y2＝ax＋b经过A(1，3)，B(0，2)，
???a＋b＝3，?a＝1，
∴?解得? ?b＝2.?b＝2.??
∴直线AB的解析式为y2＝x＋2.
(2)由图象可知，在第一象限内，当x≥1时，y2≥y1. k
∴不等式ax＋b≥的解集为x≥1.
x
m
3．(2016·威海)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，
x点B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标． m
解：(1)把点A(2，6)代入y＝，得m＝12.
x
12
则所求反比例函数的表达式为y＝.
x12
把点B(n，1)代入y＝，得n＝12，
x则点B的坐标为(12，1)．
???k＝－，?2k＋b＝6，2 ?由直线y＝kx＋b过点A(2，6)，点B(12，1)，得解得?
?12k＋b＝1.??
?b＝7.
1
则所求一次函数的表达式为y＝－x＋7.
2
(2)设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为(0，m)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)． ∴PE＝|m－7|.
∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，
1
∴×|m－7|×(12－2)＝5.∴|m－7|＝1. 2∴m1＝6，m2＝8.
∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．
k1
4．(2016·乐山)如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B(，n)．
x2(1)求这两个函数的解析式；
k
(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个
x交点，求m的值．
1
k
解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4.
x4
∴反比例函数的解析式为y＝. x
141
又∵B(，n)在反比例函数y＝的图象上，∴n＝4，解得n＝8.
2x2
2＝2a＋b，????a＝－4，1
由A(2，2)，B(，8)在一次函数y＝ax＋b的图象上，得?1 解得?
2?b＝10.8＝a＋b.???2
∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10.
(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位得直线的解析式为y＝－4x＋10－m. 4
∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝有且只有一个交点，
x42
令－4x＋10－m＝，得4x＋(m－10)x＋4＝0.
x∴Δ＝(m－10)－64＝0，解得m＝2或18.
m－8
5．(2016·宿州灵璧县一模)已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A(－1，6)．
x(1)求m的值；
2
m－8
(2)如图，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．
x
解：(1)∵反比例函数图象过点A(－1，6)， ∴
m－8
＝6，解得m＝2. －1
故m的值为2.
(2)分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点E，D. 由题意，得AE＝6，OE＝1.
∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，∴AE∥BD. CBBD
∴△CBD∽△CAE.∴＝.
CAAE
CB11BD
∵AB＝2BC，∴＝.∴＝，即BD＝2.
CA336∴点B的纵坐标为2.
当y＝2时，x＝－3，即B(－3，2)． 设直线AB解析式为y＝kx＋b，
???－k＋b＝6，?k＝2，
把A和B坐标代入，得?解得?
??－3k＋b＝2.b＝8.??
∴直线AB解析式为y＝2x＋8.
令y＝0，解得x＝－4. ∴C(－4，0)．
类型2 求二次函数的解析式
2
6．(2016·安徽模拟)二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)，求函数表达式，并求出当0≤x≤3时，y的最大值．
2
解：∵二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)，
?16＋4b＋c＝3，?b＝－4，??∴?解得? ??9＋3b＋c＝0.c＝3.??
∴函数表达式为y＝x－4x＋3. 22
y＝x－4x＋3＝(x－2)－1. ∴当x＝0时，y有最大值是3.
7．已知二次函数的图象过点(0，3)，顶点坐标为(－4，11)． (1)求这个二次函数的关系式；
(2)求这个二次函数图象与x轴交点坐标．
12
解：(1)根据题意，可设该二次函数关系式为y＝a(x＋4)＋11，将(0，3)代入上式可得16a＋11＝3，解得a＝－，
212
故这个二次函数关系式为y＝－(x＋4)＋11.
212
(2)在函数y＝－(x＋4)＋11中，令y＝0，得
2
2