材料力学复习总结 下载本文

1、 材料力学的任务:强度、刚度和稳定性;

应力 单位面积上的内力。 平均应力 p??Fm?A (1.1) 全应力p??limA?0p?Fm??limA?0?A?dFdA (1.2) 正应力 垂直于截面的应力分量,用符号?表示。 切应力 相切于截面的应力分量,用符号?表示。 应力的量纲: 国际单位制:Pa(N/m2)、MPa、GPa 工程单位制:kgf/m2、kgf/cm2 线应变 单位长度上的变形量,无量纲,其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。外力偶矩

传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出,而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。 当功率P单位为千瓦(kW),转速为n(r/min)时,外力偶矩为

M9549Pe?n(N.m)

当功率P单位为马力(PS),转速为n(r/min)时,外力偶矩为

MPe?7024n(N.m)

拉(压)杆横截面上的正应力

拉压杆件横截面上只有正应力?,且为平均分布,其计算公式为 ??FNA (3-1)

式中FN为该横截面的轴力,A为横截面面积。

正负号规定 拉应力为正,压应力为负。 公式(3-1)的适用条件:

(1)杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉(压)杆件; (2)适用于离杆件受力区域稍远处的横截面;

(3)杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀; (4)截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角??200时 拉压杆件任意斜截面(a图)上的应力为平均分布,其计算公式为

全应力 p???cos? (3-2)

正应力

????cos2?(3-3)

切应力?1??2sin2? (3-4) 式中?为横截面上的应力。

正负号规定:

? 由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负。

?? 拉应力为正,压应力为负。

?? 对脱离体内一点产生顺时针力矩的??为正,反之为负。

图1.2

两点结论:

(1)当??0时,即横截面上,??达到最大值,即????max??。当?=90时,即纵截面上,??=90=0。

00000(2)当??45时,即与杆轴成45的斜截面上,??达到最大值,即(??)max??2

1.2 拉(压)杆的应变和胡克定律 (1)变形及应变

杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短;受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长。如图3-2。

图3-2

轴向变形 ?l?l1?l 轴向线应变 ??横向线应变 ????l 横向变形 ?b?b1?b l?b 正负号规定 伸长为正,缩短为负。 b(2)胡克定律

当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。即 ??E? (3-5) 或用轴力及杆件的变形量表示为 ?l?FNl (3-6) EA式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件:

(a)材料在线弹性范围内工作,即???p;

(b)在计算?l时,l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形。即

?l??i?1nNili (3-7) EiAi(3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 ??表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段

阶 段 弹性阶段 图1-5中线段 oab 特征点 比例极限?p 弹性极限?e 屈服阶段 bc 屈服极限?s 说 明 ?? (3-8) ??p为应力与应变成正比的最高应力 ?e为不产生残余变形的最高应力 ?s为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力 强化阶段 局部形变阶段 性能 弹性性能 ce ef 抗拉强度?b ?b为材料在断裂前所能承受的最大名义应力 产生颈缩现象到试件断裂 表1-2 主要性能指标 说明 当???p时,E?性能指标 弹性模量E ? ? 强度性能 屈服极限?s 抗拉强度?b 材料出现显著的塑性变形 材料的最大承载能力 材料拉断时的塑性变形程度 材料的塑性变形程度 塑性性能 l1?l?100% lA?A1?100% 截面收缩率??A延伸率??强度计算

许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 [?]=

?s? ; 脆性材料 [?]=b nsnb其中ns,nb称为安全系数,且大于1。

强度条件:构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸(压缩)杆件

??N???? (3-9) A按式(1-4)可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。 2.1 切应力互等定理

受力构件内任意一点两个相互垂直面上,切应力总是成对产生,它们的大小相等,方向同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关。

2.2纯剪切

单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态,称为纯剪切应力状态。 2.3切应变

切应力作用下,单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变,用?表示。 2.4 剪切胡克定律

在材料的比例极限范围内,切应力与切应变成正比,即 ??G? (3-10)

式中G为材料的切变模量,为材料的又一弹性常数(另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比?),其数值由实验决定。

对各向同性材料,E、 ?、G有下列关系 G?2.5.2切应力计算公式

横截面上某一点切应力大小为 ?p?E (3-11)

2(1??)T? (3-12) Ip式中Ip为该截面对圆心的极惯性矩,?为欲求的点至圆心的距离。

圆截面周边上的切应力为

?max?T (3-13) Wt式中Wt?IpR称为扭转截面系数,R为圆截面半径。

2.5.3 切应力公式讨论

(1) 切应力公式(3-12)和式(3-13)适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆;对小锥度圆截面直杆

以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许范围内。

(2) 极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt是截面几何特征量,计算公式见表3-3。在面积不变情况下,材料离散程度高,其

值愈大;反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此,设计空心轴比实心轴更为合理。

表3-3 实心圆 (外径为d) Ip??d432 Wt??d316 空心圆 (外径为D, 内径为d) Ip??D432(1?a4) a?d DWt??D416(1?a4) 2.5.4强度条件

圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏。因此,强度条件为?max???T?????? ?Wt?max(3-14) 对等圆截面直杆 ?max?Tmax???? (3-15)式中???为材料的许用切应力。 Wt1?M (3-16) EIz3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系

?式中,?是变形后梁轴线的曲率半径;E是材料的弹性模量;IE是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。 3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式

??My (3-17) IZ式中,M是横截面上的弯矩;IZ的意义同上;y是欲求正应力的点到中性轴的距离

最大正应力出现在距中性轴最远点处

?max?Mmax?yIz?xmaMmax (3-18) Wz式中,Wz?12?3IzD;对于称为抗弯截面系数。对于h?b的矩形截面,Wz?bh;对于直径为D的圆形截面,Wz?632ymaxd?3D(1?a4)。 的环形截面,Wz?D32内外径之比为a?若中性轴是横截面的对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值相等,若不是对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值不相等。

3.2梁的正应力强度条件

梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力,其表达式为

?max?Mmax???? (3-19) Wz对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁(如T字形截面、上下不等边的工字形截面等),其强度条件应表达为

?lmax??ymax?Mmaxy1???t? (3-20a) IzMmaxy2???c? (3-20b) Iz式中,??t?,??c?分别是材料的容许拉应力和容许压应力;y1,y2分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。

QSz?3.3梁的切应力 ?? (3-21)

Izb?式中,Q是横截面上的剪力;Sz是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩;Iz是整个横截面对中性轴的惯性

矩;b是距中性轴为y处的横截面宽度。 3.3.1矩形截面梁

切应力方向与剪力平行,大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布。

?6Q?h2?y2? (3-22) 切应力计算公式 ??3?bh?4?最大切应力发生在中性轴各点处,?max?3Q。 2A3.3.2工字形截面梁

切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。

Q?B22切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 ????H?h??Izb?8近似计算腹板上的最大切应力:

?2h??b2??y?? (3-23) 2?4????maxFdhs1 d为腹板宽度 h1为上下两翼缘内侧距

3.3.3圆形截面梁

横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,其竖直分量沿截面宽度相等,沿高度呈抛物线变化。

?d22dQ??QSz?83??4Q (3-25) 最大切应力发生在中性轴上,其大小为 ?max???d4Izb3A64圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。

3.4切应力强度条件

?QmaSxz梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即 ?max?Izbmax?d???? (3-26)

?式中,Qmax是梁上的最大切应力值;Szb是?maxmax是中性轴一侧面积对中性轴的静矩;Iz是横截面对中性轴的惯性矩;

处截面的宽度。对于等宽度截面,?max发生在中性轴上,对于宽度变化的截面,?max不一定发生在中性轴上。 4.2剪切的实用计算

名义切应力:假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ,则名义切应力为 ??Q (3-27) A