弦振动的研究

一、实验目的

1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系，并进行测量。

二、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 三、实验原理 为了研究问题的方便，认为波动是从A点发出的，沿弦线朝Ｂ端方向传播，称为入射波，再由Ｂ端反射沿弦线朝Ａ端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖Ｂ到适合位置．弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程

图（2） 分别为：

Y1＝Acos2?(ft－x/ ?)

Y2＝Acos[2? (ft＋x/λ)+ ?]

式中A为简谐波的振幅，f为频率，?为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

Y1 ＋Y2＝2Acos[2?（x/ ?）+?/2]Acos2?ft ①

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2?（x/ ?）+?/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。

由于波节处振幅为零，即：｜cos[2?（x/ ?）+?/2] |＝0 2?（x/ ?）+?/2＝(2k+1) ? / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为：

x＝k? /2 ②

而相邻两波节之间的距离为：

xk＋1－xk ＝(k＋1)?/2－k? / 2＝? / 2 ③

又因为波腹处的质点振幅为最大，即 ｜cos[2?（x/ ?）+?/2] | =1

2?（x/ ?）+?/2 ＝k? ( k=0. 1. 2. 3. ? ?)

可得波腹的位置为：

x＝(2k-1)?/4 ④

这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：

L＝n? / 2 ( n=1. 2. 3. … )

由此可得沿弦线传播的横波波长为：

?＝2L / n ⑤

式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。

根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝?f，将⑤式代入可得弦线上横波的

传播速度：

V＝2Lf/n ⑥

另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：

V＝(T/ρ)1/2 ⑦

式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 再由⑥⑦式可得

f =（T/ρ）1/2（n/2L）

得 T＝ρ / (n/2Lf )2 即 ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧

由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。

四、实验内容

1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据

2、测定11个砝码的质量，记录数据 3、组装仪器

4、调节电振音叉频率，弦线长度和砝码数量得到多段驻波，用米尺测量驻波长度，记录频率，砝码质量，波数，波长。（靠近振动端的第一个驻波不完整，要从第二个驻波开始测量波长）

五、数据记录及处理

1、弦线密度测定

弦线总长：2.00m 总质量：0.383g σ=0.383/2.00=0.1915 g/m 2、砝码质量测定： 兰州g=9.793m/s2 编1 号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11