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3. 10 在一只半径为R 的半球形碗内, 有一粒质量为m 的小钢球, 沿碗的内壁作匀速圆周运动。试求: 当小钢球的角速度为ω时, 它距碗底的高度h 为多少

[分析与解答] 取小球为隔离体，受重力p和支承力FN（如图）。其中，FN沿x轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。有

FNsin??man?mr?2?mR?2sin? ①

???FNcos??mg ②

R?h ③ Rg解得 h?R?2 且 cos???可见，h随ω的增大而增大。

3. 13质量为m 的物体在黏性介质中由静止开始下落, 介质阻力与速度成正比, 即Fr= βv,β为常量。试

( 1) 写出物体的牛顿运动方程。 ( 2) 求速度随时间的变化关系。 ( 3) 其最大下落速度为多少 ( 4) 分析物体全程的运动情况。

[分析与解答] （1）物体受向下的重力mg和向上的阻力F，则牛顿运动方程为 mg??.v?ma

dv??g?v dtmvtdv分离变量并积分 ???dt

00?g?vm（2）由 a?得 -

mg?ln??mgv?t

?m整理后得 v?mg?(1?e?t)

（3）当t??时，有最大下落速度

vmax??tdxmg（4）由v??(1?em)

dt?mg?

?有 ?dx??0xtmg0?(1?e??mt)dt

??t?mg?m得 x??t?(1?em)?

??????物体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为vmax?后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。

mg?，此

质量为m的小球从点A由静止出发，沿半径为r的光滑圆轨道运动到点C（见图），求此时小球的角速度?C和小球对圆轨道的作用力FNC。

[分析与解答] 取小球为隔离体，受力情况如图。取自然坐标系，由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为

dv-mgsin??m ①

dtv2FN?mgcos??m ②

R由于

dvdvd?dvvdv，代入式①并分离变量后积分 ????dtd?dtd?Rd??vdv??0v?90??Rgsin?d?

得 v?2Rgcos? ③ 则小球在c点的角速度?C为 ?C?v?R2gcos? Rv2将式③代入式②，得 FN?m?mgcos??3mgcos?

R其反作用力即为小球对轨道的作用力FNC。

如图所示，在密度为?1的液体上方有一悬挂的长为l，密度为?2的均匀直棒，棒的下方恰与液面接触。今剪断挂线，棒在重力P和浮力F 作用下竖直下沉, 若?2>?1 , 求棒下落过程中的最大速度。

[分析与解答] 按题设条件，剪断细线后，杆在下沉过程只受重力和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，当重力和浮力相等时，杆下沉的加速度a=0,此时速度最大。

取x坐标如图，根据牛顿第二定律，有

mg?F?mdv ① dt式中，m??2SL，浮力F??1Sxg，故式①可写成

?2SLg??1Sxg??2SLdvdvdxdv??2SL??2SLv ② dtdxdtdx对式②分离变量并积分，有

v?x?1???1?gdx?vdv ?0???0?L?2?x得 gx??1g121(x)?v2 ③ ?2L22设杆的速度最大时，杆进入液体的长度为x=l,则式 ③中的v即为最大速度。此时mg=F,即

?2SLg??1Slg

得 l??2L ④ ?1将式④代入式③，得杆的最大速度为 vmax??2Lg ?1 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M 的物体A, B, 且M稍大于m。物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h距离后, 绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律

[分析与解答] 把整个过程分成三个阶段来处理。

第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A的速度为V?2gh，方向向下。

第二阶段，绳子被拉紧，物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。经过极短时间△t 后，以共同的速度V运动，此时，物体的受力情况如图（B）所示。如取