第3讲 平面向量
高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；
(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
??2m＋n＝9，
解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即?
?m－2n＝－8，???m＝2，
解得?故m－n＝2－5＝－3.
?n＝5，?
答案 －3
→→→→→2.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的→→→→→
夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.
→→→→
解析 如图，设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝2，∠OCD＝45°，
由tan α＝7，得cos α＝又由余弦定理知
2
， 10
?m2＝n2＋（2）2－22ncos 45°，
?22
2
?n＝m＋（2）－22mcos α，
1 / 14
m－n＝2－2n， ①??
即?22 2
n－m＝2－m， ②?5?
2772
①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，
543775775
当n＝时，m＝10－5×＝－<0(不合题意，舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n33344457
＝＋＝3. 44答案 3
→→
3.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA→→→→
＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________.
22
→→→→
解析 设AB＝a，AC＝b，则BA·CA＝(－a)·(－b)＝a·b＝4. 又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点， 11→1→→
则AD＝(AB＋AC)＝a＋b，
222→→
AF＝AD＝a＋b， AE＝AD＝a＋b，
1→136
1
6
2→1331
3
1121→→→
BF＝BA＋AF＝－a＋a＋b＝－a＋b，
33331112→→→
CF＝CA＋AF＝－b＋a＋b＝a－b，
3333→→?21??12?则BF·CF＝?－a＋b?·?a－b?＝
?33??33?222252225
－a－b＋a·b＝－(a＋b)＋×4＝－1. 999992922
可得a＋b＝. 2
1151→→→
又BE＝BA＋AE＝－a＋a＋b＝－a＋b，
66661115→→→
CE＝CA＋AE＝－b＋a＋b＝a－b，
6666
2 / 14
→→?51??15?则BE·CE＝?－a＋b?·?a－b?
?66??66?
52226529267＝－(a＋b)＋a·b＝－×＋×4＝.
36363623687答案
8
4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值；
(2)记f (x)＝a·b，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－3cos x，
?π?∴3sin x＋3cos x＝0，即sin?x＋?＝0.
6??
ππ7π5π
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝.
66666
?π?(2)f (x)＝a·b＝3cos x－3sin x＝－23sin?x－?.
3??
π?π2π?
∵x∈[0，π]，∴x－∈?－，?，
3?3?3∴－
3?π?≤sin?x－?≤1，∴－23≤f (x)≤3，
3?2?
ππ
当x－＝－，即x＝0时，f (x)取得最大值3；
33ππ5π
当x－＝，即x＝时，f (x)取得最小值－23.
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考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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