2013-2014(2)经管微积分期末试卷 B及答案 下载本文

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题号 一 二 三 四 五 六 总分 ???x2nxn(?1)n?xn(?1)n?x2n(A)?; (B)?; (C)?; (D)?.

n!n!n?0n!n?0n!n?0n?0?卷(B)卷 得分 评阅人 二、填空题 (将正确答案填在题中横线上,每小题3分, 共24分). 1、设F(x)(经管学院各专业适用)

??etdt,则F?(1)= e .

0x 试末 期 号 2学A 学 数 等 高 期名学姓2 第 年 学 41 02 — 3 10 2 院级学班工业级及轻年州业郑专2、曲面x2?y2?z2?3在点(1,1,1)处的切平面方程为

一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内,每小题3分, 共18分). 2(x?1)?2(y?1)?2(z?1)?0.

1、f(x)在[a,b]上连续是

?baf(x)dx存在的( B ).

3、limx?y (A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (x= 3/2 .

D)既不充分也不必要. y??12xy2、若

?f(x)dx?F(x)?C,则

?exf(ex)dx?( C ). 4、交换积分次序

?1y1x0dy?yf(x,y)dx??0dx?x2f(x,y)dy.

(A)F(ex)?c; (B)

?F(e?x)?c; (C)F(ex)?c; (D)

F(e?x)?c. 23、设

f5、若z?yx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0,则( D ).

x,则

?z=?y?x?1x2.

(A)(x?0,y0)为极值点; (B)(x0,y0)为连续点; 6、正项级数?1n的敛散性为 收敛 .

n?12 (C)

f(x,y)在(x0,y0)有定义; (D)(x0,y0)为驻点.

4、下列方程中( A )是二阶微分方程. 7、设z?z?x,y? 由方程x?2y?z?z2?0确定,求?z=

1.

?x2z?1 (A)

y???x2y??x?0; (B) (y?)2?3x2y?x3; 8、利用几何意义计算

?a2 .

(C) y????3y???y?0; (D) y??y2?sinx2.

x???d?= y2?a25、下列级数中条件收敛的是( A ). 三、计算题(每题6分,共36分).

??(A)

?1??(?1)n?11 (B)

1、计算不定积分

?1n?1n;?(?1)nnn2; (C)?(?1)nn; (?1)n1?1n?1n?1(D)?n?1n(n?1). x2?a2dx(a?0)。

解:

6、函数

f(x)?e?x展开成x的幂级数为( D )?1x2?a2dx?11a?d(x.

)1?(x)2a ...........3分

a第 1 页/共 3 页

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1x =arctan()?C.

aa ...........6分

2、求

5、计算二重积分

??D1x?y22d?,

?1010exxdx。

x10 其中D是由1?解:极坐标变换x ...........2分

1x2?y2?4,y?0,x?0所围成第一象限内的闭区域。

?rcos?,y?rsin?下,积分区域D可表示为

解:

?exdx=?xdexx10

=(xe)|??exdx0D?{(r,?)|1?r?2,0???}

2d???

=e?e

x10|?1 ...........6分

??D1x2?y2?=

20d??2211rdrr

...........4分

3、设函数u(x,y,z)?xy2?sinz,求du。

=

??2?11 dr??2 ...........6分

?u?u?u 解:因为?cosz,?y2;?2xy;

?y?z?x ......3分

6、判断级数

?(?1)n?1n?1?1的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛。

(n?1)2n?1?11|?, ?22(n?1)n?1(n?1)?u?u?udu?dx+dy+dz?x?y?z 所以

=y2dx?2xydy+coszdz.4、计算二重积分

解:考虑绝对值级数

. ........6分

?|(?1)n?1??(x?y)dxdy,其中D是由抛物线yD2 ?x及直线y=x所围闭区域。

1??11(n?1)2 因为lim与有相同的敛散性, ?1,所以级数??22n??1....3分n?1(n?1)n?1nn2

??111n?1(?1) 而级数?2收敛,故?收敛,所以原级数绝对收敛。 ?22(n?1)n?1(n?1)n?1n?1n?解:依题意两曲线的交点为(0,0)和(1,1),则

??(x?y)dxdy=?dy?D011yy2(x?y)dx.......3分

=

321433=(y?y?y)dy?02220 .......6分

.......6分

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)卷 B( 卷 试 末 期 号 2学A 学 数 等 高 期名学姓2 第 年 学 41 02 — 3 10 2 院级学班工业级及轻年州业郑专

四、求微分方程

y???4y??3y?0的通解。(6分)

六、某工厂通过电视和报纸两种媒体做广告,据统计,销售收入R(单位:万元)与电 解:特征方程为r2?4r?3?0,

视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)的关系为 ......3分

r

R(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2。

两个不相等的实根为

1??1,r2??3,

如果计划的广告费为1.5万元,求最佳的广告费投放策略。(8分)

所以,微分方程的通解为y?C?x?3x1e?C2e。

........6分

解:由题设知,约束条件为x?y?1.5,作拉格朗日函数

L(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2??(x?y?1.5),.........3分 ?Lx?14?8y?4x???0, 得方程组??Ly?32?8x?20y???0,解之得x?0,y?1.5.........6分?。

?x?y?1.5,

由问题本身可知最大值一定存在,所以当电视广告费为x?0,报纸广告费为y?1.5

时,销售收入可达最大值R(0,1.5)?40.5万元,因此只做报纸广告为最佳策略。

?五、求幂级数

?(n?1)xn的收敛域,并求出它的和函数。(8分)

...............8分

n?1

解:令an?n?1,因为??liman?1n??|a|?limn?2? nn??n?11,故收敛半径为1,收敛区间为

?(-1,1),在x?1处,级数为

?(n?1),该级数发散,

n?1??

在x??1处,级数为

(?1)n(n?1),该级数发散,因此收敛域为(-1,1). .......4分

n?1? 设S(x)??(n?1)xn,则

xx?n?n?1n?1?0S(x)dx??0?(n?1)xdx??x?x2n?1n?11?x, 所以S(x)?(?xx20S(x)dx)??(1?x)??x(2?x)(1?x)2,

? 即?(n?1)xn?x(2?x)(1?x),?1?x?1。 .......8分2 n?1

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