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题号 一 二 三 四 五 六 总分 ???x2nxn(?1)n?xn(?1)n?x2n（A）?； （B）?； （C）?； （D）?.
n!n!n?0n!n?0n!n?0n?0?卷(B)卷 得分 评阅人 二、填空题 (将正确答案填在题中横线上，每小题3分, 共24分). 1、设F(x)(经管学院各专业适用)
??etdt，则F?(1)= e ．
0x 试末 期 号 2学A 学 数 等 高 期名学姓2 第 年 学 41 02 — 3 10 2 院级学班工业级及轻年州业郑专2、曲面x2?y2?z2?3在点(1,1,1)处的切平面方程为
一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题3分, 共18分). 2(x?1)?2(y?1)?2(z?1)?0．
1、f(x)在[a,b]上连续是
?baf(x)dx存在的（ B ）.
3、limx?y （A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （x= 3/2 .
D）既不充分也不必要. y??12xy2、若
?f(x)dx?F(x)?C，则
?exf(ex)dx?（ C ）. 4、交换积分次序
?1y1x0dy?yf(x,y)dx??0dx?x2f(x,y)dy.
（A）F(ex)?c； (B）
?F(e?x)?c； （C）F(ex)?c； （D）
F(e?x)?c. 23、设
f5、若z?yx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0，则( D ).
x，则
?z=?y?x?1x2.
（A）(x?0,y0)为极值点； （B）(x0,y0)为连续点； 6、正项级数?1n的敛散性为 收敛 .
n?12 （C）
f(x,y)在(x0,y0)有定义； （D）(x0,y0)为驻点.
4、下列方程中（ A ）是二阶微分方程. 7、设z?z?x,y? 由方程x?2y?z?z2?0确定，求?z=
1.
?x2z?1 (A)
y???x2y??x?0； (B) (y?)2?3x2y?x3； 8、利用几何意义计算
?a2 .
(C) y????3y???y?0； (D) y??y2?sinx2.
x???d?= y2?a25、下列级数中条件收敛的是（ A ）. 三、计算题(每题6分，共36分).
??（A）
?1??(?1)n?11 （B）
1、计算不定积分
?1n?1n；?(?1)nnn2； (C）?(?1)nn； (?1)n1?1n?1n?1（D）?n?1n(n?1). x2?a2dx(a?0)。
解：
6、函数
f(x)?e?x展开成x的幂级数为（ D ）?1x2?a2dx?11a?d(x.
)1?(x)2a ...........3分
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1x =arctan()?C.
aa ...........6分
2、求
5、计算二重积分
??D1x?y22d?，
?1010exxdx。
x10 其中D是由1?解：极坐标变换x ...........2分
1x2?y2?4,y?0,x?0所围成第一象限内的闭区域。
?rcos?,y?rsin?下，积分区域D可表示为
解：
?exdx=?xdexx10
=(xe)|??exdx0D?{(r,?)|1?r?2,0???}
2d???
=e?e
x10|?1 ...........6分
??D1x2?y2?=
20d??2211rdrr
...........4分
3、设函数u(x,y,z)?xy2?sinz，求du。
=
??2?11 dr??2 ...........6分
?u?u?u 解：因为?cosz，?y2；?2xy；
?y?z?x ......3分
6、判断级数
?(?1)n?1n?1?1的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
(n?1)2n?1?11|?， ?22(n?1)n?1(n?1)?u?u?udu?dx+dy+dz?x?y?z 所以
=y2dx?2xydy+coszdz.4、计算二重积分
解：考虑绝对值级数
. ........6分
?|(?1)n?1??(x?y)dxdy，其中D是由抛物线yD2 ?x及直线y=x所围闭区域。
1??11(n?1)2 因为lim与有相同的敛散性， ?1，所以级数??22n??1....3分n?1(n?1)n?1nn2
??111n?1(?1) 而级数?2收敛，故?收敛，所以原级数绝对收敛。 ?22(n?1)n?1(n?1)n?1n?1n?解：依题意两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，则
??(x?y)dxdy=?dy?D011yy2(x?y)dx.......3分
=
321433=(y?y?y)dy?02220 .......6分
.......6分
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节 约 用 纸 两 面 书 写
)卷 B( 卷 试 末 期 号 2学A 学 数 等 高 期名学姓2 第 年 学 41 02 — 3 10 2 院级学班工业级及轻年州业郑专
四、求微分方程
y???4y??3y?0的通解。(6分)
六、某工厂通过电视和报纸两种媒体做广告，据统计，销售收入R（单位：万元）与电 解：特征方程为r2?4r?3?0，
视广告费x（单位：万元）和报纸广告费y（单位：万元）的关系为 ......3分
r
R(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2。
两个不相等的实根为
1??1,r2??3，
如果计划的广告费为1.5万元，求最佳的广告费投放策略。（8分）
所以，微分方程的通解为y?C?x?3x1e?C2e。
........6分
解：由题设知，约束条件为x?y?1.5，作拉格朗日函数
L(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2??(x?y?1.5)，.........3分 ?Lx?14?8y?4x???0, 得方程组??Ly?32?8x?20y???0,解之得x?0,y?1.5.........6分?。
?x?y?1.5,
由问题本身可知最大值一定存在，所以当电视广告费为x?0，报纸广告费为y?1.5
时，销售收入可达最大值R(0,1.5)?40.5万元，因此只做报纸广告为最佳策略。
?五、求幂级数
?(n?1)xn的收敛域，并求出它的和函数。(8分)
...............8分
n?1
解：令an?n?1，因为??liman?1n??|a|?limn?2? nn??n?11，故收敛半径为1，收敛区间为
?(-1,1)，在x?1处，级数为
?(n?1)，该级数发散，
n?1??
在x??1处，级数为
(?1)n(n?1)，该级数发散，因此收敛域为(-1,1). .......4分
n?1? 设S(x)??(n?1)xn，则
xx?n?n?1n?1?0S(x)dx??0?(n?1)xdx??x?x2n?1n?11?x， 所以S(x)?(?xx20S(x)dx)??(1?x)??x(2?x)(1?x)2，
? 即?(n?1)xn?x(2?x)(1?x),?1?x?1。 .......8分2 n?1
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