第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.

关键词： 曲面积分；曲线积分

1 引 言

第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的

重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.

2 第二型曲线积分

例1 求I???exsiny?b?x?y??dx?ex?cosy?ax?dy，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=2ax?x2到点o（0，0） 的弧.

方法一：利用格林公式法

??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数??L???x?y?D?在D 上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.

解：添加从点o（0，0）沿y=0到点A（2a,0）的有向直线段L1,

I??L?L1?exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy??L1?esiny?b?x?y??dx??ecosy?ax?dyxx

记为I?I1?I2 ，

??Q?P?xx 则由格林公式得：I1??????dxdy????e?cosy?a?ecosy?b??dxdy ????x?y?D?D

????b?a?dxdy?D?2a2?b?a?

其中D为L1?L所围成的半圆域，直接计算I2,因为在L1时，y?0，所以dy=0

因而：I2????bx?dx??2a2b ，从而

I?I1?I2??????a2?b?a??2a2b???2?a2b?a3 22?2? 方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解

（1） 若 ?

?P?Q?（与路径无关的条件）， 则 ?y?xA?x1,y1?B?x0,y0?Pdx?Qdy??P?x,y0?dx??Q?x1,y?dy

x0y0x1y1（2） x???t?,y???t?

'' ?Pdx?Qdy???P?t,?t?t?Q?t,?t????????????t???????dt AB??? ?是起点 ?是终点

解： I???exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy

L??exsinydx?excosydy??b?x?y?dx?axdy

LL 记为I?I1?I2 ,

对于I1，积分与路径无关，所以

xxx?esinydx?ecosydy?esiny?0,0??2a,0??0

?x?a?asint 对于I2，取L的参数方程?，t从0到?，得

?y?asint?b?x?y?dx?axdy?????absint?absintcost?absinL22202t?a3cos2t?a3cost?dt

11??2a2b??a2??a322???? 从而 I???2?a2b?a3

2?2?对于空间第二曲线一般的解题过程为：?Pdx?Qdy?Rdz

L 若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续

1

?LPdx?Qdy?Rdz????dydzdzdxdxdy???

?x?y?zPQR若L非闭，其参数方程为

?????P?x?t?,y?t?,z?t??x'?t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y'?t??R?x?t?,y?t?,z?t??z'?t???dt?x?x?t?? 其中： ?y?y?t??，?分别为L的起点，终点参数值.

??z?z?t? 例2 计算空间曲线积分I=

为圆柱面x2?y2?a2与平面曲线是逆时针方向.

方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用?0,2??上

三角函数的正交性.

解： 令 x?acost,y?asint， 则

???y?z?dx??z?x?dy??x?y?dz，其中曲线L

xz??1的交线?a?0,h?0?，从X轴正向看，ah?x??acost? z?h?1???h?1???h?1?cost?

aa???? 于是I=

?asint?h?1?cost??????asint????h?1?cost??acost???acost??acost?asint??hsint?dt?????2?a?a?h?方法二：解 ：I????dydzdzdxdxdy?????2??dydz?dzdx?dxdy

?x?y?z?y?zz?xx?yh??h?,0,1?dxdy??2????1?dxdy??2?a?h?a?

a??a?D? ??2Dxy?1,1,1??????

3 第二型曲面积分

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