选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题
一、选择题（每个小题
5 分）
1．设 a,b,c 表示三条直线，
， 表示两个平面，下列命题中不正确的是（
）
A ．
a
//
a
a b
B． b在 内
c是 a在 内的射影 a // b
b c
b // c
C． b在 内
c //
D．
b
a
c不在 内
2．如图， P 为正方体 ABCD
D 1 A 1
B1 P D A
A1 B1C1 D1 的中心，△ PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（
(1)
(2)
(3)
(4)
）
C1
C B
A ．（ 1）、（ 2）、（ 3）、（4）
B ．（ 1）、（ 3） C．（ 1）、（ 4） D ．（ 2）、（ 4）
3． 给出下列命题： （ 1）三点确定一个平面； （ 2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
（ 3）若平面
上有不共线的三点到平面
的距离相等，则
） D．3个
// ；（ 4 ）若直线 a、 b、 c 满足
a b、 a c, 则 b // c ．其中正确命题的个数是（
B．1个
C．2个
A． 0个
4． 已知长方体的表面积是
A ．
24cm2 ，过同一顶点的三条棱长之和是
B． 4cm
6cm ，则它的对角线长是（
D ． 2 3cm
）
14cm
）
C． 3 2cm
5．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度
是（
h 随时间 t 变化的可能图象
正视图 侧视图
俯 视图
h h h h
O
A ．
t
O
t
O
C．
t O
t
D ．
B．
6．如图：在平行六面体
ABCD
A1B1C1 D1 中， M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB a ， AD BM 相等的向量是（
）
D
A
B
b ，
AA1 c ，则下列向量中与
D1
C1
M
A1
B1
( A)
1 a 2 1 a 2
1
2
b c
( B)
1 a 2
1
2
b c
C
(C)
1
b c
( D )
1
a
1
b c
2
2 2
7. 已知 A 、B、C 三点不共线，点 条件是（ ）
（A）OM
O 为平面 ABC 外的一点，则下列条件中，能得到 M∈平面 ABC 的充分
1 OA
1 OB
1
OC ；
（B） OM （D） OM
1 OA
1 OB OC ；
（C） OM
2 2 2
OA OB OC； 3 3 2OA OB OC
8.直三棱住 A 1B1 C1— ABC ，∠ BCA= 90 ，点 D1、 F1 分别是 A 1B 1、A 1C1 的中点， BC=CA=CC 1，则 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值是（
）
（ A ）
30
（B ）
1 2
（ C）
30 15
（ D）
15 10
）．
10
9．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（
A ．平面六边形 B．菱形 C．梯形 D ．直角三角形
4 个顶点，①矩形；
10．在底面为正方形的长方体上任意选择
4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的
②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都 是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
这些几何形体是（
）
C．①②③④
D．①③④⑤
A ．①②④⑤
B．①②③⑤
5 分）
二、填空题（每个小题
D
M
C
11.设向量 a 与 b 的夹角为 ， a (3,3) ， 2b a ( 1,1) ，则 cos
．
N
A M
12. 设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE⊥ AB 于 E(如图 )．现将△ ADE 沿 DE 折起，使二面角 A－ DE－ B 为 45°，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、 N 的连线与 AE 所成角的大小等于 _________ ．
13．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号
A
B
．．．．
D
E
B
N
C
是
． （填写命题所对应的序号即可）
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
14. 已知正四棱锥的体积为 15. 平面内有两定点 三、简答题 16（本题满分 如图，在四棱锥
12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于
.
A， B，且 |AB|=4 ，动点 P 满足 | PA PB |
4 ，则点 P 的轨迹是.
12 分）
S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，
与 BD 的交点为 O ， E 为侧棱 SC 上一点． （Ⅰ）当 E 为侧棱 SC 的中点时，求证： SA∥平面 BDE ；
BDE
SAC
AC
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
17．（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱柱
ABCD — A 1B 1C1D1 中， A1D ⊥底面
ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱
AA 1=2。
（ I）求证： C1D// 平面 ABB 1A 1；
（ II ）求直线 BD 1 与平面 A 1C1D 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角 D— A 1C1— A 的余弦值。
18. （本小题满分
12 分）
如图（ 1）是一正方体的表面展开图，
（ 1）求证： MN// 平面 PBD ； （ 2）求证： AQ ⊥平面 PBD；
MN 和 PB 是两条面对角线，请在图（ 2）的正方体中将 MN 和 PB
画出来，并就这个正方体解决下面问题。
（ 3）求二面角 P— DB — M 的大小．
19（本小题满分 12 分） 如图 1 所示，在平行六面体
ABCD — A 1B 1C1D1 中，已知 AB=5 ， AD=4 ， AA 1=3， AB ⊥ AD ，∠ A 1AB= ∠
A 1AD=
。
3
（ 1）求证：顶点 A 1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠ BAD 的平分线上； （ 2）求这个平行六面体的体积
图1
图2
20．（本小题满分 13 分）
如图，平面
PAD ⊥平面 ABCD ， ABCD 为正方形， PAD
90o ，且 PA
AD, E、 F 分别是线段
PA、CD 的中点．
（Ⅰ）求证： PA 平面 ABCD ； （Ⅱ）求 EF 和平面 ABCD 所成的角
（Ⅲ）求异面直线
； ．
EF 与 BD 所成的角
21. （本题满分 14 分） 如图，在长方体
ABCD A1 B1C1D1 中， AA1 2AB
1) ．
2AD ，且
PC1
CC1 (0
（ I）求证：对任意
0 1，总有 AP BD ；
（ II）若
1
3
，求二面角 P AB1 B 的余弦值；
（ III ）是否存在
说明理由．
，使得 AP 在平面 B1 AC 上的射影
平分
B1 AC ？若存在 , 求出
的值 , 若不存在，
选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题
命题：武大附中
沈阳
10、 D
1、D 2、C
3、B 12.
4、D 5、B 6、A 7、B 8、 A 9、D
11、
3 10 10
2
13．②、③ 14. 3015. 以 AB 为直径的圆
16 证明： （Ⅰ）连接
OE
，由条件可得
∥
SA OE
．
因为 SA? 平面 BDE ， OE ì平面 BDE ，所以 SA∥平面 BDE ．
z
S
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
SO 面ABCD ， AC
BD ．
建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥 S 则 O(0, 0,
E
ABCD 的底面边长为 2， 0) ， S(0, 0,
2)，A
2, 0, 0，B0, 2,0
，
D
C
C
所以 AC 设 CE
2,0,0 ， D
2
0, 2, 0 ．
0,
O
B
y
2,0,0 ， BD 2 2, 0 ．
x
A
a （ 0 a 2 ），由已知可求得 ECO 45 ．