椭__圆
[知识能否忆起]
1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及其几何性质
条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0 图形 22标准方程 x22＋yyxa2b2＝1(a＞b＞0) a2＋b2＝1(a＞b＞0) 范围 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 对称性 曲线关于x轴、y轴、原点对称 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，长轴顶点(0，±a) 短轴顶点顶点 ±b) (±b,0) 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 离心率 e＝ca∈(0,1)，其中c＝a2－b2 2通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2ba
[小题能否全取]
2
2
1．(教材习题改编)设P是椭圆xy
4＋9＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( A．4 B．8 C．6
D．18
解析：选C 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2
2
2．(教材习题改编)方程x5－m＋y
m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是( )
A．(－3,5)
B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
)
5－m＞0，??
解析：选C 由方程表示椭圆知?m＋3＞0，
??5－m≠m＋3，解得－3＜m＜5且m≠1.
xy4
3．(2018·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
94＋k5A．－21
2
22
B．21 19
D.或21 25
19
C．－或21
25
2
解析：选C 若a＝9，b＝4＋k，则c＝5－k， c45－k419由＝，即＝，得k＝－； a53525若a＝4＋k，b＝9，则c＝k－5， c4k－54由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5
1
4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭圆的方程是
2________．
解析：∵2c＝8，∴c＝4， c41
∴e＝＝＝，故a＝8.
aa2
yx
又∵b＝a－c＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.
6448
2
2
2
2
2
2
2
yx
答案：＋＝1
6448
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝
π， 2
22
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3， 2c3
所以离心率e＝＝.
2a3答案：
3 3
1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．
椭圆的定义及标准方程
典题导入
xy322
[例1] (2018·山东高考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x－y＝1的渐近线与椭圆
ab2C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
xy
A.＋＝1 82xy
C.＋＝1 164
2
2
2
2
2
2
xy
B.＋＝1 126xy
D.＋＝1 2053， 2
2
2
22
[自主解答] ∵椭圆的离心率为ca－b3∴＝＝，∴a＝2b. aa2故椭圆方程为x＋4y＝4b.
2
2
2
22∵双曲线x－y＝1的渐近线方程为x±y＝0，
22
?2525?222
∴渐近线x±y＝0与椭圆x＋4y＝4b在第一象限的交点为?b，b?，
5??5
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为xy
故椭圆C的方程为＋＝1.
205[答案] D
本例中条件“双曲线x－y＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x＋y－2x－15＝0的半径”问题不变．
解：∵x＋y－2x－15＝0，
∴(x－1)＋y＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2. c3
又＝，∴c＝3， a2
x2
∴b＝1，故椭圆方程为＋y＝1.
4
由题悟法
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2525222
b×b＝4，∴b＝5，即a＝4b＝20. 55