教育

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

三维目标：

1、知识与技能：

（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；

（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系； （4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，

会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法

（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识

事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；

（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、

严谨的思维习惯以及解题的规范性。

（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不

断从感性认识提高到理性认识，。 3、情态与价值观

（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽

象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学

好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。

（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、

勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；

教学重点：

平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：

平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。 教学过程：

一、情景导入、引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

二、合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量，

教育（一）

F α S 教育

②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos?

（2）定义说明：

①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。

（4）学生讨论，并完成下表：

?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝０；

③当a与b的夹角是60°时，有

教育（一）

教育

a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×

1＝9 2评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°

或180°两种可能. 探究二：研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念：

如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?

注：投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。

探究三：探究数量积的运算性质 1、数量积的性质

性质：若ａ和ｂ均为非零向量

（1）ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝0 （垂直）

（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ =︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ 反向 时，ａ·ｂ =-︱ａ︱·︱ｂ︱ 特别地：ａ·ａ=︱ａ︱ =a?a （长度）

2

（3）cosθ=

a?b（夹角） a?b（4）︱ａ·ｂ︱ ≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）

2、探究题组二（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b ）·（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：（a+2b ）·（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b =36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(a+b)=a+2a·b+b

2

2

2

（2）(a+b )·(a-b)= a—b

2

2

探究四、数量积的运算律：

（1）交换律： ； （2）对数乘的结合律： ； （3）分配律：

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