寻找黑匣子

摘要

黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它记录各种飞行参数，供事故分析使用。但是一旦飞机失事，想要寻找黑匣子并不是一件容易的事。本文将针对提出的三个问题，给出符合实际的假设，通过建立恰当的数学模型来描述飞机的坠落轨迹以及黑匣子落水后在海中的位置。

问题一中，飞机在空中突然失去动力，经过受力分析可知，飞机在空中受到空气阻力、重力和升力作用。以飞机失事点为原点建立坐标系，求解微分方程可得飞机的水平和竖直速度的函数关系式，再由垂直高度H=10000m求出滑翔总时间和水平经过的路程。确定最终落水点为（9600，-10000），在地面的投影位置为南纬21.9383°，东经88.066°。

问题二中，不考虑洋流流动，黑匣子仅受到重力、浮力和与速度方向相反的海水阻力的作用，经受力分析可得：

2?c?vsdvxax?2m?dt ?， ?2d?ay?g??gv排水??csv?vym2mdt?对微分方程求解可得水平速度vx与竖直速度vy。由于无法通过确定垂直降落高度求解出时间t的函数表达式，故用trapz函数计算在t固定的情况下，黑匣子水

平经过的距离和竖直降落的距离，经多次计算可知t=213.999秒时，竖直降落距离达到3995.1米，t=214秒时，竖直距离达到 4006.4米,根据误差最小原则，我们确定降落时间为213.999秒，水平经过距离为65.4米，由图可知黑匣子落在区域I中，并由Matlab7.0画出黑匣子在水中的沉降轨迹。

问题三中，考虑到洋流流动对黑匣子的作用，受力分析知，黑匣子在竖直方向上受到重力、浮力和上托举力，水平方向上受到水流的拖曳力，经过计算，可得轨迹方程为:

t x??vxdt?ut?011log(|a1t?b1|)?log(|b1|) a1a1??11?e?C y?vy?t?ln() ?2abt?C??ab1?e???物CDs1其中a1?，b1?，t为下降的时间，vx(0)为黑匣子在水平

u?vx(0)2?水v排水方向上的初速度，u为水流速度。再由Matlab7.0软件中的find函数，找到垂直

下降高度为1000m，2000m和3000m时，相应的水平运动距离分别为48.1058米、99.8516 米和151.7053 米。

关键词:微分方程 受力分析 Matlab7.0软件 trapz函数 find函数

1问题重述

1.1背景

据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。 1.2问题

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。请建立模型求解以下问题：

1）假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。

2）假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1（见附录1）所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。

3）考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。

2问题分析

2.1问题一分析

飞机在发生事故失去动力时，查阅资料分析可知，飞机在空中受到重力、升力以及与速度方向相反的空气阻力的作用，并且在下降过程中由驾驶员操控使飞机滑翔下降，而不是垂直栽入水中。分析飞机的受力分析图，进行受力分解建立微分方程，再利用Matlab7.0求解相关数据，计算出飞机坠落的经纬度并绘制出飞机坠落轨迹图。 2.2问题二分析

查阅资料可知90%的空难都是在触地的瞬间完成的，因而本文假设飞机在落入水中瞬间发生爆炸而解体。为了简化模型，忽略不计飞机解体后产生的巨大的冲击力，假定飞机遇水瞬间的速度即为黑匣子落水的初速度。由于不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，因此黑匣子在自身重力、浮力和阻力的作用下在海水中沉降，最终会因为触礁而停止运动。考虑到海底平面在不同高度时凹凸情形

不一致，但由题中所给的图可知在区域I和区域II海底平面的凹凸情形大致相同，所以在解题过程中采用先固定一个下降高度，通过微积分方程求出下降过程所需时间，再根据时间求出黑匣子走过的水平距离，再由水平距离与图1中的海底平面的区域范围进行比较，最后估测可得黑匣子在图1中的区域范围。 2.3问题三分析

该问题是问题二的一个延伸与拓展，在问题三中，将加入洋流运动的影响，但是飞机遇水爆炸的瞬间速度仍为黑匣子落水的初速度，变得是黑匣子在水中的受力情况。黑匣子在下落过程中除了受到重力、浮力的作用之外，由于存在洋流的作用，黑匣子还受到洋流对它的拖曳力和上举力。进行受力分析可知，在竖直方向上，黑匣子受到了重力、浮力、沉降引起的拖曳力的作用，在水平方向上仅受到水平拖曳力的作用，而且该水平拖曳力与水平向上阻流面积、水流速度皆成正相关关系。根据上述力的关系，我们可列出微分方程求解黑匣子在水中的水平速度和竖直下降速度，再把速度对时间积分便可得到黑匣子在水中竖直下降的距离和水平移动的距离，进而求解得出黑匣子在不同水下高度时距离落水点的具体方位。

3基本假设

1）假设飞机降落过程中空气密度不随垂直高度变化；

2）假设飞机降落过程中重力加速度不随纬度变化，且与经度无关； 3）假设飞机降落过程中迎风受力面积和机翼受力面积不变； 4）假设不考虑地转偏向力对飞机的作用；

5）假设飞机落水瞬间发生爆炸，将黑匣子炸出机体，且黑匣子不粘连其他物质； 6）假设黑匣子在落水的瞬间整体就浸入水中； 7）假设黑匣子在触礁的瞬间速度就减为零，； 8）黑匣子入水后不考虑翻转的影响，即黑匣子入水后x、y方向迎水面积不发生变化；

9）海水中的阻力系数保持不变；

4符号说明

符号 意义 飞机（黑匣子）的运动速度 飞机（黑匣子）的质量 飞机迎风受力面积 空气阻力系数 重力加速度 飞机机翼受力面积 已知数据 单位 米/秒 千克 平方米 v m 5?10(20) 4s c 150 10.08 10 平方和 g s2 100 cF2 飞机升力系数 空气（海水）密度 0.8 1.29(1025) 千克/立方米 牛 牛 米 米 ? 升力 飞机飞行过程中受到的升力 飞机飞行过程中受到的空气阻力 飞机（黑匣子）在竖直方向上经过的距离 飞机（黑匣子）在水平方向上经过的距离 问题一中为飞机从开始失去动力到落入水中经过的时间；问题二，三中为黑匣子从入水开始到触礁停止运动经过的时间 体积 F y 阻力x t 秒 物体进入海水中排开的体积，也是物体本身的 v排水 立方米

5模型建立与求解

5.1问题一

飞机的受力分析图如左所示，飞机在空中做受

重力、升力和空气阻力作用的滑翔运动，其中重力为G?5?105N，飞机所受空气阻力和升力均与速

度平方成正比，

F阻力?12?sv1c12，

12??F升力2s2c2v。 由此易得，飞机的水平受力和垂直受力为：

1?2?-sc?v11x??Fx2 ??Fy?G-1sc?v2?1sc?v211x22y??22

又由导数的物理意义可知：

dvx?Fx?max?m??dt ?

?F?ma?mdvyyy?dt?综合上述两个微分方程组，可得如下新的微分方程组：

1?dvx2m??sc?v11x?dt2??mdvy??1sc?v2?1sc?v211x22y ?dt22??vx(0)?222.2?v(0)?0?y求解该微分方程组，可得到飞机的水平方向和竖直方向关于时间的函数：

2m???vx10ts1c1??m?1111?1 ?t2mgs1c1??2mgs2c2??2tanh()2mgs1c1??2mgs2c2??m?v?ys1c1??s2c2??得到速度关于时间的函数后，再利用Matlab7.0求解微积分方程

ttyx?vdt?10000得，t?68.54s,将t分别代入v，v0y，x??vxdt，求得飞机

0刚到达海平面时的水平速度，竖直速度以及飞机在这段时间内飞行的水平距离，

具体数据如下：

v?124.4228m/s，v?177.7179m/s，x?9600m

xy 题中已给出飞机的初始位置（即失去动力的起点）为

?88?E,22?S?,通过

上述计算可知，飞机失事至落水水平距离上飞行了9600m,则根据纬度计算公式可得：