3.2立体几何中的向量方法（1）

一、教学目标

1．借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；

2．用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程

（一）、复习提问

1．直线和平面的位置关系有哪几种？

（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 2．平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：

（二）、新知讲解，方法定位

1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一

2般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

P A O l2 l1 ? ? ?②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。求直线和平面所成的角用的是射

2影转化法。

具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何

A C B D ?? 一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???；

（3）确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,?]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：S??S?cos?(S为原斜面面积,S?为射影面积,?为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点P到直线a的距离为点P到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A，过A作a的垂线，垂足为B连PB，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。

点到平面的距离：点P到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面?的斜线上两点A，B到斜足C的距离AB，AC的比为m:n，则点A，B到平面?的距离之比也为m:n．特别地，AB＝AC时，点A，B到平面?的距离相等；③体积法

（2）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线a,b的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的