A．{a}?A C．{a}∈A 答案 D

B．a?A D．a?A

3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个． 答案 4

解析 因为(A∪B)?B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．

4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝________. 答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)

解析 因为?UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 题组三 易错自纠

5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ) A．??A C．{0,2}?A 答案 ACD

解析 易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．

6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________. 答案 0或3

解析 因为B?A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.

7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 答案 0或1或－1

解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M， ∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.

B．－2∈A D．A?{y|y<3}

集合的含义与表示

1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．6 D．9 答案 C

解析 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1； 当x＝2时，y＝0,1,2.

故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．

?3?

2．已知集合A＝?x∈Z?2－x∈Z

???

??

?，则集合A中的元素个数为( ) ??

A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 因为

3

∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，2－x

－1，故集合A中的元素个数为4.

3．给出下列四个命题： ①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}；

②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}；

③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；

④设2 021∈{x，x2，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④

解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x＝－2 021或x＝－2 021，满足条件的所有x组成的集合为{－2 021，－2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．

思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．

集合间的基本关系

??????n1

????，则两集合M，N的关系x＝＋1，n∈Zy＝m＋，m∈Z例1 (1)集合M＝x?2，N＝y?2????

为( ) A．M∩N＝? C．M?N 答案 D

解析 由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数

B．M＝N D．N?M

1

时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N?M，故选D.

2

(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．

又∵A?C?B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．

(3)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x

解析 由x2－2 021x＋2 020<0，解得1

又B＝{x|x

思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B 答案 B

解析 由题意知A＝{x|y＝1－x2}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}．

B．BA D．B＝A

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B.

(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________．

50，? 答案 (－∞，－2)∪??2?解析 A＝{x|－1≤x≤6}． ∵B?A，∴B＝?或B≠?.

当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意． m－1≤2m＋1，??

当B≠?时，?m－1≥－1，

??2m＋1≤6.5

解得0≤m≤. 25

得m<－2或0≤m≤.

2

集合的基本运算

命题点1 集合的运算

例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( ) A．(1,3) C．[－1,2) 答案 C

解析 因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2)．

(2)(2020·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域

B．(1,3] D．(－1,2)