§2-4 几种质量力同时作用下的液体平衡
若液体相对于地球虽有运动，但液体本身各质点之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡(Relative Equilibrium)。例如相对于地面作等加速(或等速)直线运动或等角速旋转运动的容器中的液体，便是相对平衡液体的实例。
研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，最好的方法是采用理论力学中处理相对运动问题的方法，即将坐标系置于运动容器上，液体相对于该坐标系是静止的，于是这种运动问题便可作为静力学问题来处理。但须注意：与重力作用下的平衡液体所不同的是，相对平衡液体的质量力除了重力外，还有牵连惯性力。下面以等角速旋转容器内液体的相对平衡为例，说明这类问题的一般分析方法。
图2-15
设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速度ω旋围，如图2-15所示。液体在器壁的带动下也以同一角速度ω随容器一起旋转，从而形成了液体对容器的相对平衡。现将坐标系置于旋转圆筒上，z轴向上并与中心轴重合，坐标原点位于液面上(见图)。由于坐标系转动，作用在液体质点上的质量力，除重力外，还有牵连离心惯性力。
对于液体内任一质点A(x,y,z)，其所受单位质量力在各坐标轴方向的分量为
X=?2x Y=?2y Z=-g
将其代入液体平衡微分方程综合式(2-2-2)，得
dp=ρ(?2xdx+?2ydy-gdz)
积分上式，得
p=ρ（1?2x2+1?2y2-gz）+C
22式中C为积分常数，由边界条件决定。在坐标原点(x=0,y=0,z=0)处，p=p0，由此得C=p0。将其代入上式，并注意到x2+y2=r2,ρg=γ，得
p?p0??(
?r2g22-z) (2-4-1)
这就是等角速度旋转直立容器中液体压强分布规律的一般表达式。 若p为任一常数，则由式(2-4-1)可得等压面族(包括液面)方程为
?r2g22-z=C′(常数) (2-4-2)
上式表明，等角速度旋转直立容器中液体的等压面族是一绕中心轴的旋转抛物面。 对于液面，p=p0，代入式(2-4-1)可得液面方程：
zs =
?r2g22 (2-4-3)
式中 zs为液面上某点的竖直坐标，将其代入式(2-4-1)，得
p=p0+γ(zs-z)=p0+γh
(2-4-4)
式中h=zs-z为液体中任意一点的淹没深度。上式表明，在相对平衡的旋转液体中，各点的静水压强随淹没深度的变化仍是线性关系。但需指出，在旋转平衡液体中各点的测压管水头却不等于常数。
图2-16
例2-2 有一盛水圆柱形容器，高H=1.2m，直径D=0.7m，盛水深度恰好为容器高度的一半。试问当容器绕其中心轴旋转的转速n为多大时，水开始溢出?
解：因旋转抛物体的体积等于同底同高圆柱体体积的一半，因此，当容器旋转使水上升至容器顶部时，旋转抛物体自由液面的顶点恰好在容器底部，如图2-16所示。在自由液面上，当r=
D2时，zs=H，将其代入上式(2-4-3)得
ω=
1D8gH?10.78?9.8?1.2=13.86 rad/s
故转速
n?30???30?13.83.14=132.4r/min(转/分)
§2-5 平面上的静水总压力
作用在物体表面上的静水总压力，是许多工程技术上(如分析水池、水闸、水坝及路基等的作用力)必须解决的力学问题。只要掌握了前面所讲的静水压强分布规律就不难确定静水总压力的大小、方向和作用点。这一节介绍平面上静水总压力的计算。下一节讨论曲面上静水总压力的计算。
1．静水压强分布图
静水压强分布规律可用几何图形表示出来，即以线条长度表示点压强的大小，以线端箭头表示点压强的作用方向，亦即受压面的内法线方向。由于建筑物的四周一般都处在大气中，各个方向的大气压力将互相抵消，故压强分布图只需绘出相对压强值。图2-17为一直立矩形平板闸门，一面受水压力作用，其在水下的部分为ABB1A1，深度为H，宽度为b。图2-18(a)便是作用在该闸门上的压强分布图，为一空间压强分布图；图2-18(b)为垂直于闸门的剖面图，为一平面压强分布图。从前面知道，静水压强与淹没深度成线性关系，故作用在平面上的平面压强分布图必然是按直线分布的，因此，只要直线上两个点的压强为已知，就可确定该压强分布直线。一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。图2-18为各种情况的压强分布图。
图2-17
图2-18
2．利用压强分布图求矩形平面上的静水总压力
求矩形平面上的静水总压力实际上就是平行力系求合力的问题。通过绘制压强分布图求一边与水面平行的矩形平面上的静水总压力最为方便。
图2-19
图2-19表示一任意倾斜放置但一边与水面平行的矩形平面ABB1A1的一面受水压力作用。可先画出该平面上的压强分布图，然后根据压强分布图确定总压力的大小、方向和作用点。当作出作用于矩形平面上的压强分布图ABEF后，便不难看出：作用于整个平面上的静水总压力P的大小应等于该压强分布图的面积Ω与矩形平面的宽度b的乘积，即
P=Ω2b=(γh1+γh2)l2b=γ(h1+h2)l2b=γhcA
2211 (2-5-1)
式中l为矩形平面的长度：hc=(h1+h2)/2，为矩形平面的形心在水下的深度；A为
受水压力作用的平面面积。总压力的作用方向与受作用面的内法线方向一致，总压力的作用点应在作用面的纵向对称轴O-O上的D点，该点是压强分布图形心点沿作用面内法线方向在作用面上的投影点，称为压力中心(Pressure Center)。如图2-18(a)，压强分布图为矩形，总压力作用点必在中点a/2处；图2-18(b)和(c)的压强分布图为三角形，合力必在距底1/3高度处；而图2-18(d)的压强分布图为梯形，总压力作用点在距底e=
13?2h1?h2h1?h2处。
3．用解析法求任意平面上的静水总压力
图2-20
对任意形状的平面，需要用解析法来确定静水总压力的大小和作用点。如图2-20所示，EF为一任意形状的平面，倾斜放置于水中任意位置，与水面相交成α角。设想该平面的一面受水压力作用，其面积为A，形心位于C处，形心处水深为hc，自由表面上的压强为当地大气压强。作用于这一平面上的相对静水总压力的大小及作用点的位置D可按以下的方法来确定。
取平面的延展面与水面的交线为Ox轴，以通过平面EF中任意选定点N并垂直于Ox轴的直线为Oy轴。在平面中的M处取一微小面积dA，其上的压力为dP=γhdA，由于每一微小面积上作用的静水压力方向相同，因此，作用于整个EF平面上的静水总压力为
P=∫AγhdA=∫AγysinαdA=γsinα∫AydA
上式中∫AhdA代表平面EF对Ox轴的静面矩，它等于平面面积A与其形心坐标yc的乘积，即∫AγhdA=ycA。如以pc代表形心C处的静水压强，则有
P=γsinαycA=γhcA=pcA
(2-5-2)
上式表明：任意平面上的静水总压力的大小等于该平面的面积与其形心处静水压强的乘积。因此，形心处的静水压强相当于该平面的平均压强。
下面分析静水总压力的作用点——压力中心的位置：yD和xD。这一位置可通过合力对任意轴的力矩等于各分力对该轴的力矩和来确定。对Ox轴取力矩得