PyD=∫AγhydA=γsinα∫Ay2dA
式中∫Ay2dA为平面EF对Ox轴的惯性矩，以Jx表示。故得
PyD=γsinαJx
若以Jcx表示平面EF对通过形心C并与Ox轴平行的轴的惯性矩，则根据惯性矩的平行移轴定理可得：Jx=Jcx+yc2A。因此有
PyD=
由此得
yD??sin?(JCx?yCA)
2?sin??JCx?yCA?2?yCsin?A?yC?JCxyCA
除平面水平放置外，总压力作用点总是在作用面形心点之下。常见平面图形的面积A、形心距上边界点长yc以及惯性矩Jcx的计算式见表2-2。
表2-2 常见平面的A、yc及Jcx 几何图形及名称 面积A 形心至上边界点长yC 1223相对于图上Cx轴的惯性矩JCx 112136bhbh3相对于图上底边的惯性矩Jb 13112
bh 12bhh h bhbh3 33h?a?b?22?r h?a?2b??? 3?a?b?322h?a?4ab?b??? ??36?a?b? r 43?r14?r ?64r 4412?r 2? 9?2?8r472? 根据同样道理，对Oy轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标xD为 xD?xC?JCxyyCA (2-5-4)
式中Jcxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯性积 Jcxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压力中心D可能在形心C的这边或那边。
应当指出，以上分析作用于平面上的总压力的大小及压力中心时，讨论的均是液体的表面处于大气之中的情况。若液体表面上的压强不是当地大气压强，则不能照搬以上结果，读者可自行分析之。实际工程中的被作用平面，一般具有纵
向对称轴，则压力中心D必落在对称轴上，不必计算xD。
例2-3 设有一铅直放置的水平底边矩形闸门，如图2-21所示。已知闸门高度H=2m，宽度b=3m，闸门上缘到自由表面的距离h1=1m。试用绘制压强分布图的方法和解析法求解作用于闸门的静水总压力。
图2-21
解： (1)利用压强分布图求解
绘制静水压强分布图ABEF，如图2-21所示。根据式(2-5-1)可得静水总压力大小为
P=Ωb==
1212［γh1+γ(h1+H)］Hb
［9.8310331+9.831033(1+2)］3233=1.1763105(N)=117.6(kN)
静水总压力P的方向垂直于闸门平面，并指向闸门。压力中心D距闸门底部的位置e为
H2h1??h1?H?22?1??1?2?e??=0.83(m)
3h1??h1?H?31??1?2?其距自由表面的位置为
yD=h1+H-e=1+2-0.83=2.17(m)
(2)用分析法求解
由式(2-5-2)可得静水总压力大小为
P=γhcA=γ(h1+
H222)(H+b)=9.831033(1+)(233)=1.1763105(N)=117.6(kN)
静水总压力P的方向垂直指向闸门平面。由式(2-5-4)得压力中心D距自由表面的位置为
bHyD?yc?JCx3H??12??h1???H?yCA?2???h1???H?b?2??3?23
2?24?12?2??2.17?m??1???22144?????1???2?3?2??§2-6 曲面上的静水总压力
在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形闸门、U形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确定作用于曲面上的静水总压力。作用于曲面上任意点的静水压强也是沿着作用面的法线指向作用面，并且其大小与该点所在的水下深度成线性关系。因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图，如图2-22所示。
图2-22
由于曲面上各点的法线方向各不相同，因此不能像求平面上的总压力那样通过直接积分求其合力。为了将求曲面上的总压力问题也变为平行力系求合力的问题，以便于积分求和，通常将曲面上的静水总压力P分解成水平分力和铅直分力，然后再合成P。在工程上，有时不必求合力，只需求出水平分力和铅直分力即可。因为工程上多数曲面为二维曲面，即具有平行母线的柱面或球面。在此先着重讨论柱面情况，然后再将结论推广到一般曲面。
当二维曲面的母线为水平线时，可取Oz轴铅直向下，Oy轴与曲面的母线平行。此时二维曲面在xOy平面上的投影将是一根曲线，如图2-23上的EF。在这种情况下，Py=0，问题转化为求Px和Pz的大小及其作用线的位置。
图2-23
图2-23为一母线与水平轴Oy平行的二维曲面，面积为A，曲面左侧承受静水压力作用，自由表面上的压强为当地大气压强。在深度为h处取一微元柱面ef，面积为dA。由于该柱面极小，故可将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的水压力dP=pdA=γhdA，它垂直于该微元柱面，与水平线成θ角，dP可以分解成水平分力dPx和铅直分力dPz两部分：
dPx=dPcosθ=γhdAcosθ dPz=dPsinθ=γhdAsinθ
式中θ是该微元柱面与铅直面的夹角，所以dAcosθ可以看成是该微元柱面在铅直面yOz上的投影面积dAx；dAsinθ可以看成是微元柱面在水平面上的投影面积dAz。于是得作用于整个曲面上静水总压力的水平分力Px为
Px=∫AdPx=∫AγhdAcosθ=γ∫AxhdAx
∫AhdAx表示曲面EF在铅直面yOz上的投影面对水平轴Oy的静面矩。如以hc表示铅直投影面的形心在液面下的深度，则由静面矩定理得
∫AxhdAx=hcAx
于是得
Px=γhcAx
(2-6-1)
上式表明：作用于二维曲面EF上的静水总压力P的水平分力Px等于作用于该曲面的铅直投影面Ax上的静水总压力。因此可按确定平面上静水总压力(包括大小和作用点)的方法来求解Px。作用于曲面上静水总压力P的铅直分力Pz为
Pz=∫AdPz=∫AγhdAsinθ=∫AzγhdAz
从图2-23可以看出：γhdAz为微小柱面ef上的液体重，即图中efe″f″柱状体内的液体重。因此，∫AzγhdAz应是整个曲面EF上的液体重，即柱状体EFE″F″内的液体重，即EFE″F″这部分体积乘以γ。于是，将柱体EFE″F″称为压力体(Pressure Volume)，其体积以V表示。
压力体应由下列界面所围成：
图2-24
1．受压曲面本身；
2．受压曲面在自由液面(或自由液面的延展面)上的投影面，如图2-23(或图2-24)所示；
3．从曲面的边界向自由液面(或自由液面的延展面)所作的铅直面。 铅直分力Pz的方向，则应根据曲面与压力体的关系而定：当液体与压力体位于曲面的同侧(如图2-23)时，Pz向下；当液体与压力体分别在曲面之一侧(如图2-24)时，Pz向上。对于简单柱面，Pz的方向可以根据实际作用在曲面上的静水压力垂直指向作用面这个性质很容易地加以确定。
求得水平分力Px和铅直分力Pz后，则可得液体作用于曲面上的静水总压力P为
P=Px2?Pz2 (2-6-2)
总压力P的作用线与水平线的夹角α为
??arctanPzPx
P的作用线应通过Px与Pz的交点D′，但这一交点不一定在曲面上，总压力P的作用线与曲面的交点D即为总压力P在曲面上的作用点。
以上讨论的虽是简单的二维曲面上的静水总压力，但所得结论完全可以应用于任意的三维曲面，所不同的是：对于三维曲面，水平分力除了在yOz平面上有投影外，在xOz平面上也有投影，因此水平分力除了有Ox轴方向的Px外，还有Oy轴方向的Py。与确定Px的方法相类似，Py等于曲面在xOz平面的投影面上的总压力。作用于三维曲面的铅直分力Pz也等于压力体内的液体重。三维曲面上的总压力P由Px、Py、Pz合成，即