全国名校八年级数学培优生优质专题训练汇编（附详解）

专题3 和差化积----因式分解的方法（1）

阅读与思考

提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．

一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：

对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．

2．拆、添项法：

拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．

例题与求解

【例l】分解因式?x2?x?1??x2?x?2??12?___________．

（浙江省中考题）

解题思路：把?x2?x?看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．

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【例2】观察下列因式分解的过程： （1）x2?xy?4x?4y；

原式＝?x2?xy???4x?4y??x?x?y??4?x?y???x?y??x?4?； （2）a2?b2?c2?2bc．

原式＝a2??b2?c2?2bc??a2??b?c?2??a?b?c??a?b?c?．

第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）a2?ab?ac?bc；

（西宁市中考试题）

（2）x2?4y2?z2?4yz．

（临沂市中考试题）

解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式 （1）1999x2?(19992?1)x?1999；

（重庆市竞赛题）

（2）?x?y??x?y?2xy???xy?1??xy?1?；

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（“缙云杯”邀请赛试题）

（3）?x?2?3??y?2?3??x?y?3．

（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中x?y、xy反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．

【例4】把多项式x2?y2?2x?4y?3因式分解后，正确的结果是（ ）． A．?x?y?3??x?y?1? B．?x?y?1??x?y?3? C．?x?y?3??x?y?1? D．?x?y?1??x?y?3?

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．

【例5】分解因式： （1）x5?x?1；

（扬州市竞赛题）