所求圆的方程为x＋y＝81．
[答案] x＋y＝81
8．(2019·南京模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
1
[解析] 令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB211
＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，22
2
2
2
2
2
22
则|OH|＝
2|OH|1，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线2|OP|22
3
． 3
AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－
[答案] －3 3
2
2
9．(2019·南京市四校第一学期联考)已知圆O：x＋y＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为______． [解析] 设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)＋(y－a＋4)＝1．连结MP， 2 2 MB，则MB＝1，PB⊥MB．因为∠APB＝60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上．连结OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x＋y＝1与圆(x－a)＋(y－a＋4)＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤a＋（a－4）≤3，得 ??2a－8a＋15≥0，2222?2解得2－≤a≤2＋．所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥2． 2222??2a－8a＋7≤0， 22 2 2 2 2 2 [答案] 2 10．(2019·苏北四市高三质量检测)已知A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，P→→22 是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1上的动点，则|PA＋PB|的取值范围为________． 1→→→22 [解析] 取AB的中点C，则|PA＋PB|＝2|PC|，C的轨迹方程是x＋y＝，C1C2＝5，由题 411317→→→ 意，|PC|的最大值为5＋1＋＝，最小值为5－1－＝，所以|PA＋PB|的取值范围为[7， 2222 - 9 - 2 2 13]． [答案] [7，13] 11．(2019·南通模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a． 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1． 因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0． 4 又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)． 3所以此种情况不存在，所以k2≠0． 即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1．① 又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0．② 由①②联立，解得a＝2，b＝2． (2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在， ababak1＝k2，即＝1－a．③ b又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2， 4 所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④ b???a＝2，?a＝，联立③④，解得?或?3 ?b＝－2?? ?b＝2． 2 所以a＝2，b＝－2或a＝，b＝2． 3 12．(2019·江苏高考研究原创卷)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴的正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13． (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由． 2 - 10 - ?|3a＋7|＝R?22 222 [解] (1)设圆C：(x－a)＋y＝R(a>0)，由题意知?3＋（－4），解得a＝1或a＝ ??a2＋3＝R13 ． 8 又圆C的面积S＝πR<13，所以a＝1， 所以圆C的标准方程为(x－1)＋y＝4． (2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，不满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直线l与圆C相交于不同的两点， ??y＝kx＋322 联立?，消去y得(1＋k)x＋(6k－2)x＋6＝0， 22 ?（x－1）＋y＝4? 2 2 2 所以Δ＝(6k－2)－24(1＋k)＝12k－24k－20>0， 2626解得k<1－或k>1＋， 33 222 x1＋x2＝－ 6k－22k＋62，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2． 1＋k1＋k→→→→ 在?OADB中，OD＝OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)，MC＝(1，－3)，假设OD∥MC，则－3(x1＋x2)6k－22k＋63 ＝y1＋y2，所以3×2＝2，解得k＝． 1＋k1＋k4 32626 但∈/(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)， 433所以不存在直线l，使得直线OD与MC恰好平行． 13．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x＋ 2 y2＝4，F(0，2)，点A，B是圆O上的动点，且FA·FB＝4． (1)若FB＝1，且点B在第二象限，求直线AB的方程； (2)是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)显然直线FB的斜率存在，故可设直线FB的方程为y＝kx＋2(k＞0)， ??y＝kx＋222 联立方程得?22，消去y得，(k＋1)x＋4kx＝0， ?x＋y＝4? - 11 - 4kx＝－??k＋1得?， 2－2k??y＝k＋1 B2 2 B2故FB＝1＋k?0－?－得k＝ 2 ? ? ?24k??＝4|k|＝1， ?? ?k＋1??k2＋1 15157?? ，点B?－，?． 15?44? 因为FB＝1，且FA·FB＝4，所以FA＝4， 又圆O的半径为2，所以A(0，－2)， 故直线AB的方程为y＝－15x－2． (2)由(1)的求解方法易知，若FB＝1，且点B在第一象限， 则直线AB的方程为y＝15x－2， 故若存在符合题意的圆，则圆心在y轴上． 设圆心坐标为(0，m)，易知当AB∥x轴时，直线AB的方程为y＝1， 故|m－1|＝ |m＋2| |m＋2|2 ＝，解得m＝或m＝2． 4515＋1 若直线FB，FA的斜率存在，不妨设直线FB，FA的方程分别为y＝k1x＋2，y＝k2x＋2(k1 ≠k2)， ?4k12－2k1?， 由(1)的求解方法易知，B?－2，2??k1＋1k1＋1? 2 4k22－2k2?4|k1|4|k2|?A?－2，2，FB＝2，FA＝2． ??k2＋1k2＋1?k1＋1k2＋1 2 又FA·FB＝4，所以4|k1| 4|k2|2222 ·＝4，化简得15k1k2＝k1＋k2＋1(*)． 22 k1＋1k2＋1 k1??4 2??k1＋1? 当直线AB的斜率存在且不等于0时，直线AB的方程为＝ 4k4k21??－2－?－2?k2＋1?k1＋1? x－?－ 2－2k1y－2 k1＋122， 2－2k22－2k1 －2 k2k1＋12＋1 化简得(k1＋k2)x＋(k1k2－1)y＋2(k1k2＋1)＝0， 则点(0，2)到直线AB的距离d＝ |4k1k2| （k1＋k2）＋（k1k2－1） 2 22 ＝2|4k1k2| 222k21k2＋k1＋k2＋12 ， 把(*)代入上式得d＝1．又|m－1|＝1＝d，故存在定圆x＋(y－2)＝1与动直线AB恒相切． - 12 -