2ak
＋2akx＝0，故x1＝0，x2＝－22.
1＋ak
2
2
因此|AP|＝1＋k|x1－x2| 2a|k|2＝22·1＋k. 1＋ak
(Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.
2a|k1|1＋k1由(Ⅰ)知，|AP|＝， 22
1＋ak12a|k2|1＋k2
|AQ|＝， 22
1＋ak2
2a|k1|1＋k12a|k2|1＋k2故＝， 2222
1＋ak11＋ak2
所以(k1－k2)[1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2]＝0. 由于k1≠k2，k1，k2>0得
1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2＝0，因此 1122
(2＋1)(2＋1)＝1＋a(a－2)，① k1k2
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a(a－2)>1，所以a>2.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 aa2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 22 22 22 22 2 xy 1．(2017·福建厦门一模)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点 95A(0,23)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于( ) 2 2 A.113 4114 B. 213 4214 C. 2 2 D. xy22 解析：由椭圆＋＝1知a＝3，b＝5，c＝a－b＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2， 95|OA|＝23，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线 6 xy2 段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程5x＋ －2235322 9y－45＝0联立并整理得32y－203y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，则△APF的周 81153?213? 长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×?23＋?＝4.故选B. 228?? 答案：B xx22 2．(2016·浙江卷)已知椭圆C1：2＋y＝1(m>1)与双曲线C2：2－y＝1(n>0)的焦点重 mn合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( ) 2 2 A．m>n且e1e2>1 C．m 2 2 2 2 2 2 B．m>n且e1e2<1 D．m 2 2 2 m－1n＋1 解析：由于m－1＝c，n＋1＝c，则m－n＝2，故m>n，又(e1e2)＝2·2＝ mnn＋1n＋1n＋2n＋11 ·2＝422＝1＋42 n＋2nn＋2nn＋2n >1，所以e1e2>1.故选A. 答案：A 3．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________． y ??x＋2＝－1， 解析：设点A关于直线l的对称点为A(x，y)，则有?yx－2 ??2＝2＋3， 11 1 1 1 1 1 2 2 4 2 解得x1 ＝－3，y1＝1，易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝26，因此椭圆C的离心率e＝|AB|44226 ＝的最大值为＝. |PA|＋|PB||PA|＋|PB|1326 226 答案： 13 1?3?4．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M?1，?. 2?2?(1)求椭圆C的方程； → 若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由． xy 解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab 7 →→ 2 (2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB＝PM？ 22 ??由题意得?c1 ＝，a2??a＝b＋c， 2 2 22 19 2＋2＝1，a4b ， 解得a＝4，b＝3. 22 xy 故椭圆C的方程为＋＝1. 43 (2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k1)x－8k1(2k1－1)x＋16k1－16k1－8＝0. 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，1222 y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]－4(3＋4k1)·(16k1－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，所以k1>－. 2 8k1 又x1＋x2＝ 2 2 2 2 2 －23＋4k1 1 16k1－16k1－8x1x2＝， 2 3＋4k1 → →→ 2 因为PA·PB＝PM， 5即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 4522所以(x1－2)(x2－2)(1＋k1)＝PM＝. 452即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k1)＝. 416k1－16k1－88k12k1－14＋4k1512 所以[－2·＋4]·(1＋k)＝＝，解得k＝±. 11222 3＋4k13＋4k13＋4k14211因为k1>－，所以k1＝. 221 于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x. 2 22 → 8 9