高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习 下载本文

第三节

圆_的_方_程

[知识能否忆起]

1.圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 2.点与圆的位置关系

点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2

1.(教材习题改编)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ) 1

A.<m<1 4

1

C.m<

4

1

B.m<或m>1

4D.m>1

22平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) x+y+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心:(a,b),半径:r DE-,-?, 圆心:?2??21半径:D2+E2-4F 21

解析:选B 由(4m)2+4-4×5m>0得m<或m>1.

4

2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,1)

B.(0,1) D.(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:选A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1.

3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A.x2+(y-2)2=1

B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1

解析:选A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知?0-1?2+?b-2?2=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.

4.(2012·潍坊调研)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+3y-3=0的距离为________.

解析:圆心(1,0),d=答案:1

5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 ____________________.

解析:设圆的方程为x2+y2=a2(a>0) ∴

=a,∴a=2,

1+1|2|

|1-3|1+3

=1.

∴x2+y2=2. 答案:x2+y2=2

1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是: (1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0.

2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上.

(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

典题导入

[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为( )

43

A.?x±?2+y2=

3?3?

13

B.?x±?2+y2=

3?3?圆的方程的求法

43C.x2+?y±?2=

?3?3

13D.x2+?y±?2=

?3?3

(2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________________. 2π[自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,

3ππ233

b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=±. 33333

43故圆的方程为x2+?y±?2=. ?3?3(2)圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0,

??26+5D+F=0,则? ?10+D+F=0,?

??D=-4,解得?

?F=-6.?

圆C的方程为x2+y2-4x-6=0. [答案] (1)C (2)x2+y2-4x-6=0

由题悟法

1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r或D,E,F的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.

以题试法

1.(2012·浙江五校联考)过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是( )

A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5

B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5

解析:选D 易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质可知OA⊥PA,OB⊥PB,因此P,A,O,B四点共圆,△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆,这个圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.

典题导入

[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )

与圆有关的最值问题