第三节

圆_的_方_程

[知识能否忆起]

1．圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( ) 1

A.＜m＜1 4

1

C．m＜

4

1

B．m＜或m＞1

4D．m＞1

22平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0) x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：(a，b)，半径：r DE－，－?， 圆心：?2??21半径：D2＋E2－4F 21

解析：选B 由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.

4

2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1)

B．(0,1) D．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4， ∴－1＜a＜1.

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

解析：选A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知?0－1?2＋?b－2?2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．

解析：圆心(1,0)，d＝答案：1

5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为 ____________________．

解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0) ∴

＝a，∴a＝2，

1＋1|2|

|1－3|1＋3

＝1.

∴x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2

1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是： (1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.

2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

典题导入

[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为( )

43

A.?x±?2＋y2＝

3?3?

13

B.?x±?2＋y2＝

3?3?圆的方程的求法

43C．x2＋?y±?2＝

?3?3

13D．x2＋?y±?2＝

?3?3

(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________． 2π[自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，

3ππ233

b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±. 33333

43故圆的方程为x2＋?y±?2＝. ?3?3(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，

??26＋5D＋F＝0，则? ?10＋D＋F＝0，?

??D＝－4，解得?

?F＝－6.?

圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0. [答案] (1)C (2)x2＋y2－4x－6＝0

由题悟法

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

以题试法

1．(2012·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是( )

A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

B．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5

解析：选D 易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.

典题导入

[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )

与圆有关的最值问题