高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖) 下载本文

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等).

均值不等式公式:①a2?b2?2ab?ab?ab,(a,b?R)(当且仅当a?b时取“?”); ②a?b?2ab?ab?ab,(a,b?R?)(当且仅当a?b时取“?”).

例 11 已知a,b,c为不全相等的正数,求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 证明: ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理,b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因为a,b,c不全相等,

所以上述三个不等式中等号不能同时成立, 因此 a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.

11例 12 若x,y?0,x?y?2,求证:??2

xy11111证明:因为x,y?0,所以??(x?y)(?)

xy2xy2

2

2

2

2

2

?1yx(1?1??)?2 2xy当且仅当九、导数法

yx?,即x?1,y?1时等号成立 xy当x属于某区间,有f?(x)?0,则f(x)单调递增;若f?(x)?0,则f(x)单调递减.推广之,若证f(x)?g(x),只须证f(a)?g(a)及f?(x)?g?(x),(x?(a,b))即可.

例 13 证明不等 ex?1?x,x?0.

证明:设f(x)?ex?1?x,则f?(x)?ex?1.故当x?0时,f?(x)?0,f递增;当

x?0,f?(x)?0,f递减.

则当x?0时, f(x)?f(0)?0, 从而证得 ex?1?x,x?0.

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十、利用柯西不等式

设a,b,c,d均为实数,则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,当且ad?bc仅当时成立.

11例 14 若x,y?0,x?y?2,求证:??2

xy分析:此题在前面可用均值不等式解,这儿也可以用柯西不等式解.

11111证明:??(x?y)(?)

xy2xy ?(x?112?y?)?2 xy当且仅当

yx?x,即x?1,y?1时等号成立 y十一、 在不等式两端取变限积分证明新的不等式

x3x3x5?sinx?x??例 15 证明:x?0时,x?. 66120

证明:已知cosx?1,(x?0时只有x?2n?时等号成立),在此式两端同时取?0,x?上的

x2(x?0),第三次取积分得sinx?x(x?0),对得到的不等式取?0,x?上的积分得到1?cosx?2在?0,x?上的积分得

x3x?sinx?(x?0)

6x3x3x5?sinx(x?0),继续在?0,x?上积分两次即可得sinx?x??即x?,所以66120x3x3x5x??sinx?x??.

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结束语:不等式知识在高中尤为重要,在学术上也有很大的研究的余地,本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容,更深层的知识有待学者继续研究.

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参考文献:

[1] 傅荣强,于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社,2007:58—88 [2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9). [3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11). [4] 普片多,例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院

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