魏祥师 泗阳致远中学 高中数学

等）.

均值不等式公式：①a2?b2?2ab?ab?ab,(a,b?R)（当且仅当a?b时取“?”）； ②a?b?2ab?ab?ab,(a,b?R?)（当且仅当a?b时取“?”）.

例 11 已知a，b，c为不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 证明： ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因为a，b，c不全相等，

所以上述三个不等式中等号不能同时成立， 因此 a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.

11例 12 若x,y?0,x?y?2，求证：??2

xy11111证明：因为x,y?0,所以??(x?y)(?)

xy2xy2

2

2

2

2

2

?1yx(1?1??)?2 2xy当且仅当九、导数法

yx?，即x?1,y?1时等号成立 xy当x属于某区间，有f?(x)?0，则f(x)单调递增；若f?(x)?0，则f(x)单调递减.推广之，若证f(x)?g(x)，只须证f(a)?g(a)及f?(x)?g?(x),(x?(a,b))即可.

例 13 证明不等 ex?1?x，x?0.

证明：设f(x)?ex?1?x,则f?(x)?ex?1.故当x?0时，f?(x)?0,f递增；当

x?0,f?(x)?0,f递减.

则当x?0时， f(x)?f(0)?0, 从而证得 ex?1?x,x?0.

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十、利用柯西不等式

设a,b,c,d均为实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，当且ad?bc仅当时成立.

11例 14 若x,y?0,x?y?2，求证：??2

xy分析：此题在前面可用均值不等式解，这儿也可以用柯西不等式解.

11111证明：??(x?y)(?)

xy2xy ?(x?112?y?)?2 xy当且仅当

yx?x，即x?1,y?1时等号成立 y十一、 在不等式两端取变限积分证明新的不等式

x3x3x5?sinx?x??例 15 证明:x?0时，x?． 66120

证明：已知cosx?1,(x?0时只有x?2n?时等号成立),在此式两端同时取?0,x?上的

x2(x?0),第三次取积分得sinx?x(x?0),对得到的不等式取?0,x?上的积分得到1?cosx?2在?0,x?上的积分得

x3x?sinx?(x?0)

6x3x3x5?sinx(x?0)，继续在?0,x?上积分两次即可得sinx?x??即x?,所以66120x3x3x5x??sinx?x??．

66120

结束语：不等式知识在高中尤为重要，在学术上也有很大的研究的余地，本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容，更深层的知识有待学者继续研究.

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参考文献：

[1] 傅荣强，于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社，2007：58—88 [2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9). [3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11). [4] 普片多，例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院

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