已知：在△ABC中，∠C=90°．

求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上． 作法：如图，

① 分别以A，C为圆心，大于

A1AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； 2② 作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E． 所以线段DE就是所求作的中位线． 根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：连接PA，PC，QA，QC， DC，

∵ PA=PC，QA=_________，

∴ PQ是AC的垂直平分线（________）（填推理的依据）． ∴ E为AC中点，AD=DC． ∴ ∠DAC=∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°． ∴ ∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依据）． ∴ DB=DC． ∴ AD=BD=DC． ∴ D为AB中点．

∴ DE是△ABC的中位线．

20．关于x的一元二次方程x2?(2k?1)x?k2?1?0，其中k?0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当k??1时，求该方程的根．

BCBCA九年级（数学） 第5 页（共19页）

21．如图，在□ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接

DE．

（1）求证：DA=DF；

（2）若∠ADE=∠CDE=30°，DE?23， 求□ABCD的面积．

22．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC

与OP相交于点D．

（1）求证：?B??CPO?90?； （2）连结BP，若AC＝

ADBEFC123，sin∠CPO＝，求BP的长．

55

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23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?b与x轴、y轴分别交于点A，B，与双

2的交点为M，N． x（1）当点M的横坐标为1时，求b的值；

（2）若MN?3AB，结合函数图象，直接写出b的取值范围．

曲线y?y4321–4–3–2–1O–1–2–3–41234x

1124．有这样一个问题：探究函数y?x2?的图象与性质．

8x11小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y?x2?的图象与性质进行了探

8x究．

下面是小宇的探究过程，请补充完整：

11（1）函数y?x2?的自变量x的取值范围是 ；

8x（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：

12①画出函数y=x2和y=-的图象；

4x12②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=x2和y=-的图

4x象于点M，N，记线段MN的中点为G；

③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点

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11用平滑的曲线连接起来，得到函数y?x2?在y轴右侧的图象．继续在x轴

8x负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．

y43214321lMG12O1234PN34x

11（3）结合函数y?x2?的图象， 发现：

8x①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为 （保留小数点后一位）；

②该函数还具有的性质为：_________________（一条即可）．

25．某学校共有六个年级，每个年级10个班，每个班约40名同学．该校食堂共有10个窗

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