2017年山东省淄博市中考数学试卷(含答案解析版) 下载本文

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∴DM=AB=4,DP=AM.

设DP=2a,则AM=2a,OE=4﹣a,

BM==2.

∵BM=MP=2OE,

∴2=2×(4﹣a),

解得:a=, ∴DP=2a=3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理,解题的关键是:(1)根据矩形的性质结合翻折的性质,找出∠C=90°=∠BFN;(2)①利用尺规作图,画出⊙O;②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP.

24.(9分)(2017?淄博)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x

轴交于另一点A(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t). (1)求这条抛物线的表达式;

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(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;

(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式;

(2)过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,可设出C点坐标,利用C点坐标可表示出CD的长,从而可表示出△BOC的面积,由条件可得到关于C点坐标的方程,可求得C点坐标;

(3)设MB交y轴于点N,则可证得△ABO≌△NBO,可求得N点坐标,可求得直线BN的解析式,联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标,过M作MG⊥y轴于点G,由B、C的坐标可求得OB和OC的长,由相似三角形的性质可求

得的值,当点P在第一象限内时,过P作PH⊥x轴于点H,由条件可证得△

MOG∽△POH,由==的值,可求得PH和OH,可求得P点坐标;当P

点在第三象限时,同理可求得P点坐标. 【解答】解:

(1)∵B(2,t)在直线y=x上, ∴t=2,

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∴B(2,2),

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x;

,解得,

(2)如图1,过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,

∵点C是抛物线上第四象限的点,

∴可设C(t,2t2﹣3t),则E(t,0),D(t,t), ∴OE=t,BF=2﹣t,CD=t﹣(2t2﹣3t)=﹣2t2+4t,

∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=(﹣2t2+4t)(t+2﹣t)=﹣2t2+4t, ∵△OBC的面积为2, ∴﹣2t2+4t=2,解得t1=t2=1, ∴C(1,﹣1); (3)存在.

设MB交y轴于点N,如图1,

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∵B(2,2),

∴∠AOB=∠NOB=45°, 在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB(ASA),

∴ON=OA=,

∴N(0,),

∴可设直线BN解析式为y=kx+,

把B点坐标代入可得2=2k+,解得k=,

∴直线BN的解析式为y=x+,

联立直线BN和抛物线解析式可得,解得或,

∴M(﹣,),

∵C(1,﹣1),

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∴∠COA=∠AOB=45°,且B(2,2), ∴OB=2

,OC=

∵△POC∽△MOB,

∴==2,∠POC=∠BOM,

当点P在第一象限时,如图3,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥x轴于点H,

∵∠COA=∠BOG=45°,

∴∠MOG=∠POH,且∠PHO=∠MGO, ∴△MOG∽△POH,

∴===2,

∵M(﹣,),

∴MG=,OG=,

∴PH=MG=,OH=OG=,

∴P(,);

当点P在第三象限时,如图4,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥y轴于点H,

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