.

∴DM=AB=4，DP=AM．

设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，

BM==2．

∵BM=MP=2OE，

∴2=2×（4﹣a），

解得：a=， ∴DP=2a=3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻折的性质，找出∠C=90°=∠BFN；（2）①利用尺规作图，画出⊙O；②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP．

24．（9分）（2017?淄博）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x

轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式；

;..

.

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；

（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；

（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求

得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△

MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P

点在第三象限时，同理可求得P点坐标． 【解答】解：

（1）∵B（2，t）在直线y=x上， ∴t=2，

;..

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∴B（2，2），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；

，解得，

（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

∵点C是抛物线上第四象限的点，

∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t）， ∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，

∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t， ∵△OBC的面积为2， ∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1， ∴C（1，﹣1）； （3）存在．

设MB交y轴于点N，如图1，

;..

.

∵B（2，2），

∴∠AOB=∠NOB=45°， 在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA），

∴ON=OA=，

∴N（0，），

∴可设直线BN解析式为y=kx+，

把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，

∴直线BN的解析式为y=x+，

联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，

∴M（﹣，），

∵C（1，﹣1），

;..

.

∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2）， ∴OB=2

，OC=

，

∵△POC∽△MOB，

∴==2，∠POC=∠BOM，

当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，

∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO， ∴△MOG∽△POH，

∴===2，

∵M（﹣，），

∴MG=，OG=，

∴PH=MG=，OH=OG=，

∴P（，）；

当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

;..